Harmonic Analysis of Random Arrays of Grains: Application to the Jitter Model

Abstract

The array of grains obtained by randomly perturbing a two-dimensional periodic array of grains is called a “jitter model”. Statistical properties of such arrays are investigated here by spectral analysis.

It has been established theoretically and shown experimentally by an analogue method, using Fraunhöffer diffraction patterns, that the two-dimensional power spectrum is mixed, containing both a continuous term and a discrete line structure. As the randomness is increased (strong jitter), the relative intensity of the line components decreases.

Numerical methods for spectral analysis of the jitter model have now been developed and can be applied to arrays of photographic grain centres or to solar granulation as shown here. Further important results (histograms, correlations and probability density functions) can be obtained.

Résumé

La répartition de grains obtenue par perturbation aléatoire d’une structure périodique bidimensionnelle de grains est appelée “jitter model”. Les propriétés statistiques d’une telle structure sont étudiées ici par l’analyse spectrale.

On a établi de manière théorique et montré expérimentalement par une méthode analogique, utilisant des figures de diffraction de Fraunhöfer, que la densité spectrale à deux dimensions est un spectre mixte, contenant à la fois un terme continuet un terme de raies. Lorsque Ton augmente Taléatoirité de Tarrangement (agitation forte), Tintensité relative des termes de raies décroît.

Des méthodes numériques pour l’analyse spectrale du “jitter model” ont été développées et peuvent être appliquées aux répartitions des grains photographiques aussi bien qu’à celles des granules solaires dont un exemple est montré dans cet article. Par cette méthode numérique, d’autres résultats importants (histogrammes, corrélations et densités de probabilités) peuvent être obtenus.

Riassunto

Sono stati rivisti i fattori che determinano l’efficienza del ricupero dell’argento dia bagni difissaggio usato operando con una cella a elevata densità di corrente.

A conclusione di ciò viene presentato un progetto per un nuovo sistema adatto alle macchine sviluppatrici a rulli per film a raggi X. Il sistema comprende un catodo a perdere in fibra di carbone, sistemi per prevenire la scolorazione del fissaggio, e un micro-processor come unità di controllo.

L’unità di controllo memorizzaillavoroditrattamento, tenendo conto dei formati, calcola la concentrazione in argento del bagno e ferma l’elettrolisi quando la concentrazione scende al di sotto di 0,2g/l₂. Prende nota del peso totale del catodo. Ricerca leanomalie e comunica a voce all’operatore della macchina le informazioni quando necessario.

Vengono forniti dati per la realizzione di una unità sperimentale.

Zusammenfassung

Die durch statistische Störung einer zweidemensionalen periodischen Anordnung von Elementen erhaltene Struktur wird als “Jitter-Modell” bezeichnet. Die statistischen Eigenschaften solcher Strukturen werden hier durch Frequenzanalyse untersucht. Es konnte sowohl theoretisch abgeleitet als auch experimentell mit Hilfe von Fraunhoferschen Beugungsspektren gezeigt werden, dass das zweidimensionale Wiener-Spektrum sich zusammensetz aus einem kontinuierlichen Term und einer diskreten Linienstruktur. Mit steigendem Grad der Störung nimmt der relative Anteil der disckreten Komponente ab. Numerische Methoden zur Frequenzanalyse des Jitter-Modells wurden entwickelt und können angewendet werden sowohl auf die Untersuchung der Anordnung der Kornzentren in fotografischen Schichten als auch auf die Untersuchung der aus der Astronomie bekannten “solaren Granulation”, die in der vorliegenden Arbeit behandelt wird. Weitere wichtige Ergebnisse (Histogramme, Korrelationen und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen) können erhalten werden.