Strenge Beweise und das Verbot der metábasis eis állo génos

Abstract

In his booklet ‘Contributions to a better founded presentation of mathematics’ of 1810 Bernard Bolzano made his first serious attempt to explain the notion of a rigorous proof. Although the system of logic he employed at that stage is in various respects far below the level of the achievements in his later Wissenschaftslehre, there is a striking continuity between his earlier and later work as regards the methodological constraints on rigorous proofs. This paper tries to give a perspicuous and critical account of the fragmentary logic of Beyträge, and it shows that there is a tension between that logic and Bolzano's methodological ban on ‘kind crossing’.

Notes

¹Fortan BM.

²Vgl. Bolzanos Wiederaufnahme des Themas,Übung im richtigen Denken‘ in dem den Beweisen gewidmeten Teil (Bd. IV, 237–315) der Wissenschaftslehre (fortan: WL):,In jedem Beweise, den wir den Lesern vortragen, sollen sie eine stillschweigende Aufforderung finden, ihn auch zu prüfen; und wenn sie dieß thun, Uebung im Denken erhalten‘ (237; meine Hervorh.).

³Ich teile Paul Rusnocks Einschätzung des Büchleins:,Despite the limitations and confusions apparent in the Contributions … Bolzano succeeded in clearly showing the necessity of a complete reworking of mathematics, and also provided important elements for carrying it through‘ (Rusnock 2000 , 31).

⁴Anknüpfend an den Titel von Bolzano ( 1817 ) gebraucht Cavaillès ( 1946 , 653) die von Bolzano dort in einem engeren Sinn verwendete Phrase,rein analytischer Beweis‘ als Bezeichnung für alle strengen Beweise. Bolzano meint mit dieser Wendung Beweise von Theoremen in der mathematischen Analysis, die sich ausschließlich der Begriffe und Prinzipien der Analysis bedienen (und nicht etwa solcher der Geometrie). Für die Klarstellung dieser Sachlage danke ich einem der beiden anonymen Gutachter.

⁵ WL II, 339–391. In diesem Aufsatz werde ich auf diese späteren Ergebnisse Bolzanos nicht eingehen. (Die klassische Abhandlung dazu ist Buhl 1961 ; vgl. auch Paoli 1991; Mancosu 1999 , 431 f.; 2000 , 114–116; Lapointe 2010; Centrone 2011 , 9–20, 22–25.) Ich werde aber wiederholt Texte aus dem Umfeld der BM heranziehen: die soeben erwähnten Betrachtungen aus dem Jahre 1804, den zweiten Teilband der Philosophischen Tagebücher 1803–1810 (unter dem Sigel ‘Tb.’) und die Allgemeine Mathesis, den 1810 entstandenen Entwurf einer zweiten Lieferung für die Beyträge, von denen nur die erste (= BM) erschienen ist (unter dem Sigel: ‘Allg. Math.’).

⁶Vgl. Casari ( 1987 , 331).

⁷Die Terme,Gewissmachung‘ und,Begründung‘ werden von Bolzano in der Religionswissenschaft eingeführt: RW I, 7; vgl. später WL IV, 261–262; Größenlehre 84 f. Siehe hierzu u.a Rusnock (2000, 36), Mancosu (1999, 432 f.), Lapointe (2010), Centrone ( 2010a , 102 f.; 2011, 9–20).

⁸ Leibniz ( 1704 , IV, 9, §3).

⁹Pure Seitenzahlen zwischen Klammern im Haupttext beziehen sich fortan immer auf BM.

¹⁰Vgl. Bolzanos Entwicklung dieser Idee in WL I, 3–69 und die Wiederaufnahme dieser Idee in Husserls Prolegomena zur reinen Logik (Husserl 1900 , 12 f.; 227 f).

¹¹ Bolzano (1817), vgl. Cavaillès (1946, 653).

¹²Vgl. Morscher ( 1973 , 124–139).

¹³Bolzano selbst gebraucht dieses Wort in der WL nur für eine Unterklasse dessen, was ich als Begriff bezeichne, aber diese Differenzierung ist für die Zwecke dieser Untersuchung nicht relevant.

¹⁴Vgl. Rusnock (2000, 31), Roski ( 2010 , §1.1).

¹⁵Bolzano zitiert hier aus einer Rede des Isokrates an Philipp von Makedonien (Rede V, 155) – und nicht, wie in der Englischen Übersetzung (Russ 2004 , 88) behauptet wird, aus einem seiner Briefe an den König.

¹⁶ Gentzen (1934–1935, 177 (meine Hrvg.); genauso: 196).

¹⁷ Betrachtungen III–IV. Vgl. BM 40 f.; 60; WL IV, 241 Anm.; 261 f.

¹⁸Über diese zwei Arten von Beweisen auch WL IV, 237, 261–263; Grössenlehre 83–86. Zum Ursprung dieser Unterscheidung vgl. u.a. Aristoteles, An. Post., I, 13; Thomas von Aquin, Summa Theologiae I, quaestio 2, art. 2. Centrone (2011, 9–11) geht auf Bolzanos Wiederaufnahme der traditionellen Unterscheidungen zwischen Beweisen,,die nur das hóti, d.h. daß etwas [der Fall] ist, darthun, und solche, die das díhoti, d.h. das Warum angeben‘ (WL II, 341; IV 262) ausführlich ein. Vgl. auch Casari (1987, 331 f.), Hafner ( 1999 , 390), Mancosu (1999, 432 f.), Paoli (1991, 225), Rusnock (2000, 36), Roski (2010, §1), Sebestik (2010, 2–3).

¹⁹ Betrachtungen iv.

²⁰ Betrachtungen ii–iii; iv–v. Vgl. dazu den erhellenden Kommentar in Behboud (2000, 5–10).

²¹Aristoteles, An. Post., I, 7: 75 a 38 – b 20. Vgl. auch Tb. 202, Bolzano (1817, 6) und WL IV, 297 (mit ausdrücklichem Hinweis auf Aristoteles).

²²Im Kontext der Beweistheorie, insbesondere im Kontext von Gerhard Gentzens ‘analytischen Kalkülen’, wird eine neue Lesart dieser Problematik gegeben.

²³Vgl. etwa BM 65.

²⁴ Übersicht 48.

²⁵ WL I, 248–250; II, 264, 400. Vgl. Künne ( 2008a , 236).

²⁷Bolzano denkt hier an diejenigen Begriffe, die er in der WL,theilweise verneinend‘ nennen wird (WL I, 417). Mehr dazu unten §4.1.3.

²⁶Vgl. Rusnock (2000, 39), Centrone ( 2010b , 312 f.), Roski (2010, §1.1).

²⁸Ich habe inzwischen gesehen, dass das auch Jan Berg in Berg ( 2009 , 13) und in seinen vielen Fußnoten zum Text der auf Probleme der BM Bezug nehmenden Tb. tut.

²⁹Der vorangegangene Absatz verdankt Wolfgang Künnes Insistenz auf Genauigkeit sehr viel.

³⁰Warum ich es nicht überzeugend finde, führe ich in Centrone (2010b, 313 f. aus.).

³¹Vgl. Allg. Math. 32; und insbesondere WL I, 291:,So wird … in der Lehre von den Eintheilungen nur von dem Falle gesprochen, wo die durch Eintheilung erhaltenen Begriffe aus dem eingetheilten und noch einer näheren Bestimmung zusammengesetzt sind; was doch nicht immer seyn muß, weil ein Begriff, der einem andern untergeordnet ist, z.B. der des Wirklichen, der unter dem des Möglichen stehet, nicht immer aus diesem zusammengesetzt seyn muß‘ Hierzu vgl. auch Künne ( 2008b , 214 f.), Centrone (2010b, 313 f., 328–329).

³² BM 71; Tb. 165.

³³Vgl. Tb. 177, 222.

³⁴ BM 74–76. Vgl. Rusnock (2000, 34 f.), Roski (2010, §1.1).

³⁵Die nun folgende Interpretation dieses Textabschnittes der BM verdankt Gesprächen mit Wolfgang Künne Entscheidendes.

³⁶Derselbe Vorbehalt auch in Allg. Math. 15.

³⁷ Allg. Math. 15; vgl. Tb. 248.

³⁸Vgl auch BM 114–116. In Tb. 182 f. notiert er am 09.10.1809:,Sollte es denn nicht besser seyn, die Form der Urtheile die ich bisher mit vieler Unbequemlichkeit ‘A enthält B’ aussprach, lieber so lauten zu [la]ssen ‘A ist in B enthalten’ …[?]‘ Die andere Formulierung, deren er sich in BM nur zu oft bedient (vgl. etwa 66–67) ist nicht nur “unbequem”, – sie bringt auch eine suggestio falsi mit sich, nämlich die, dass alle Urteile dieser Sorte (im Kant'schen Sinn) analytisch sind.

³⁹Vgl. dazu Künne (2010, 219–226).

⁴⁰So Berg (2009, p. 12) und in vielen seiner Fußnoten zu Tb. (Berg verwendet in seinem Text die Standard-Symbolik der Mengentheorie, bezeichnet ‘⊂’ aber als,,Ausdruck für die Begriffsinklusion“. Das ist missverständlich. Schon in Tb. 230 vertritt Bolzano die These,,daß … verschiedene Begriffe doch gleichen Umfang haben können. ‘ Das Zeichen ‘⊂’ steht für eine Beziehung zwischen Begriffsumfängen.)

⁴¹Vgl. aber Tb. 179:,Das Prädicat in einem [sc. wahren] bejahenden Urtheile muß ein Begriff seyn, dessen Umfang entweder=oder>ist dem Umfange des Subjects.‘ In Tb. 183 für Gattungsurteile bestritten; vgl. auch Tb. 231.

⁴²Berg gibt ‘(A cum B) ist möglich’ umstandslos durch ‘A∩B≠Ø’ wieder (Berg 2009, 13). Berge, die aus Gold bestehen, sind möglich, aber ist der Durchschnitt der Klassen der Berge und der goldenen Gegenstände nicht identisch mit der leeren Klasse?

⁴³ Tb. 193.

⁴⁴ Tb. 206. Erst viel später hat Bolzano zwischen ‘Es gibt’-Sätzen als Prädikationen zweiter Stufe (in denen von einem Begriff gesagt wird, dass etwas unter ihn fällt) und Zuschreibungen von Dasein (Sein, Existenz, Wirklichkeit) als Prädikationen erster Stufe unterschieden.

⁴⁵ Tb. 223. In BM 75 ist nicht, wie Berg (2009, 13) unterstellt, von partikulären Sätzen die Rede, und an der m.W. einzigen Stelle, wo in BM von ihnen die Rede ist (112), stellt Bolzano die merkwürdige These auf,,daß die Form particulärer Urtheile gar keine rein a priorische, sondern empirische sey.‘

⁴⁶ Tb. 181–182, 184, 199, 242. – Für diverse Hinweise, die zu den Überlegungen der vorangegangenen Absätze dieses Paragraphen Anlass gegeben haben, danke ich Wolfgang Künne.

⁴⁷In §5 versuche ich, diesen Beweis zu rekonstruieren.

⁴⁸Hierzu siehe unten §6.

⁴⁹Bolzano fügt hinzu, dass,ein Gleiches‘ auch für die praktischen Urteile gilt: es müsse auch einfache praktische Urteile geben, d.h. praktische Urteile, deren Subjekt und deren Prädikat einfach ist (78–79).

⁵⁰Vgl. etwa Kant ( 1800 , I, 2). Abschnitt, §36 und: Rusnock (2000, 36), Roski (2010, §1.2). (Wir werden gegen Ende von §5 sehen, dass (Df-analyt.) wegen Bolzanos Auffassung der Wahrheitsbedingungen von Gattungsurteilen noch einer kleinen Modifikation bedarf.) Zu Bolzanos ganz anderer Analytizitätsdefinition in der Wissenschaftslehre siehe Künne (2008a, 233–303). Eine lehrreiche Diskussion der Bolzano'schen Einwände gegen Kants Definition der Analytizität in der WL (Einwände, die auch eine Selbstkritik darstellen!) ist in Siebel ( 2010 ) zu finden. – In diesem Aufsatz werde ich auf Bolzanos scharfe Kritik an Kants Lehre von der Construction der Begriffe durch Anschauung im Anhang der Beyträge (135–152) nicht eingehen. Vgl. dazu Rusnock (2000, 45–55).

⁵¹In Tb. 178 tut er es.

⁵²In Tb. 178 argumentiert er so: Analytische Urteile sind,entweder Definitionen oder Folgerungen aus Definitionen. [N]un sind Definitionen willkürlich, also auch [die] Folgerungen aus [ihnen]. Mithin sind alle analytischen Urteile willkürlich. — In WL IV, 244 schreibt Bolzano hingegen: Versteht man … unter Erklärungen Sätze, in denen ausgesagt wird, ob ein gewisser Begriff einfach oder zusammengesetzt, und aus welchen andern Vorstellungen er zusammengesetzt sey: so ist es … einleuchtend, daß Erklärungen von dieser Art nicht ohne einen denselben beigegebenen Beweis aufgestellt werden dürfen.‘ Stipulationen sind offenkundig nichts, dem man einen,Beweis beigeben‘ könnte. Bolzanos Überlegungen zur Begriffserklärung in WL bewegen sich in der Nähe des Paradoxons der Analyse.– Auf die Stelle in WL IV hat mich einer der beiden anonymen Gutachter aufmerksam gemacht.

⁵³Für den Hinweis auf dieses Problem danke ich Wolfgang Künne.

⁵⁴ BM 65–68. In BM 114–115 und in Tb. 205 (wo er ‘und’ statt ‘et’ verwendet) stellt er Modus Barbara ans Ende. “Tentativ” sage ich, weil Bolzano selber Bedenklichkeit signalisiert (64) und sagt, diese vier seien ihm,bis jetzo eingefallen‘ (65). Anders als Rusnock in seinem vortrefflichen Buch über Bolzanos Philosophie der Mathematik werde ich mich nicht darauf beschränken, diese vier einfachen Schlussarten kommentarlos aufzulisten:,Bolzano believes that the concept ‘inference’ is simple, and hence unanalysable; as a consequence, he does not seek a classification of basic inference types, but instead makes a provisional list. These are extremely limited in power, and I will simply record them here‘ (Rusnock 2000, 37). (Kann man sich nicht auch dann um eine Klassifikation bemühen, wenn der Begriff der Schlussfolgerung einfach ist, und ist eine provisorische Liste nicht ein Klassifikationsversuch?)

⁵⁵,So eben entdecke ich‘, notiert er in Tb. 173 zur traditionellen Präsentation von Modus Barbara,,daß es der logischen Ordnung gemäßer sey, … ‘. Dies sollte nicht mit der von uns am Ende von §4 erwähnten Forderung verwechselt werden, dass in einem strengen Beweis die Sätze, aus denen man folgert, immer allgemeiner als die abgeleiteten Sätze sein müssen. In der Sprache unserer Rekonstruktion kann man sagen, dass Bolzanos Anordnung die Transitivität der Inklusionsbeziehung sichtbar macht. Zur Debatte über die Relevanz der Anordnung für die Evidenz eines Syllogismus vgl. Patzig (1969, §16), wo auch die Voten von Locke und Leibniz erwähnt werden.

⁵⁶Dazu siehe unten meine Hypothese in Anm. 67. Über Bolzanos frühe Konzeption der Syllogistik siehe Tb. 238–246. Über Bolzanos Syllogistik in der WL siehe Morscher (2007b).

⁵⁷Die Vereinigung der Klasse der Anwendungsfälle eines Prädikats mit der Klasse der Anwendungsfälle eines anderen ist bekanntlich die Klasse der Gegenstände, auf die mindestens eines der beiden Prädikate zutrifft.

⁵⁸Wie Berg (2009, 13) (und in den Fußnoten zu Tb.) annimmt.

⁵⁹Vgl. WL VI, 246:,[Wir] dürfen a) in unserm Beweise nie mehrer Sätze erwähnen, als nur derjenigen, deren wir zur Ableitung des zu beweisenden Satz wirklich bedürfen.‘

⁶⁰ Allg. Math. 35.

⁶¹ Allg. Math. 35.

⁶²Auf diese Voraussetzung und die im nächsten Absatz vorgestellte Alternative zur Äquivokationshypothese hat mich Wolfgang Künne aufmerksam gemacht. Vgl. Künne ( 2010 , 601–617).

⁶³ Tb. 222–223 (Anführungszeichen von mir eingefügt); entsprechend: 238 unter ‘3.a)’.

⁶⁴ Tb. 242–245.

⁶⁵Sie legitimiert so etwas wie eine Einschränkung des Subjektbegriffs.

⁶⁶ Contra Berg, demzufolge die zweite Prämisse besagt, dass (A∩B) verschieden von der leeren Klasse ist: vgl. seine Anm. 199 zu Tb. 238.

⁶⁷Legt man Bolzanos Verständnis der partikulären Sätze zugrunde, so kann der Modus Darii mithilfe der Regel (IV) als ableitbar angesehen werden. Aus den Prämissen ‘M ⊆ P’ (MaP) und ‘(S∩M) ist möglich’ (SiM), kann durch die Regel (IV) die Konklusion ‘(S∩M) ⊆ P’ abgeleitet werden. Diese impliziert nun klarerweise die Konklusion des Modus Darii (SiP): (S∩M) ⊆ P, (S∩M) ist möglich, also (S∩P) ist möglich (SiP).

⁶⁸Man vergleiche auch seine knappe Bemerkung (66) zu den Umkehrungen der Regel (II), die wir inzwischen im Anschluss an Tb. durch (II*) ersetzt haben.

⁶⁹Vgl. Rusnock (2000, 36), Roski (2010, §2).

⁷⁰ Tb. 244.

⁷¹Siehe oben §3.

⁷²Vgl. Rusnock (2000, 40).

⁷³Vgl. Centrone (2011, 22–25).

⁷⁴In unserem Euklid-Text tragen die Sätze, die in Proklos’ Kommentar ‘axiómata’ heißen, den von den Stoikern geprägten Titel ‘koinaí énnoiai’ (vgl. Szabó 1960 , 360 f.). Dieser Titel nennt in Bolzanos Augen einen,Defekt‘ beim Namen:,Gemeine Erkenntnisse‘ sind,erweisliche Sätze, von deren Wahrheit man zwar überzeugt ist, deren systematischen Beweis man aber noch nicht kennt‘ (134).

⁷⁵Vgl. Allg. Math. 18.

⁷⁶Dass die restriktive Bedingung gut motiviert ist, wird deutlich, sobald man an Sätze wie ‘Die Kanzlerin der BRD im Jahre 2010 hat in der DDR promoviert’ oder ‘Alle Tassen in seinem Schrank haben einen Sprung’ denkt.

⁷⁸ BM 89:,… wegen seines einfachen Subjects und Prädicates … [meine Hervorh.])‘.

⁷⁹Später wird Bolzano solche Argumente perhorreszieren: WL I, 370; IV, 345 f. Der WL zufolge kann ein Begriff unendlich viele einfache Teile haben, obwohl kein kognitiv endliches Wesen einen Akt des Denkens (Vorstellens) mit einem solchen Gehalt vollziehen kann. Vgl. hierzu Casari ( 1985 , 344).

⁸⁰Vgl. Rusnock (2000, 43–44).

⁸¹ Vgl. Roski (2010, §1.2).

⁸²So Rusnock (2000, 44); vgl. aber auch (auf diese Stelle hat mich einer der anonymen Gutachter aufmerksam gemacht) WL IV, 389–390.

⁸³Man kann in Bolzanos Idee der Verständigung eine Antizipation der Ideen über implizite Definitionen erblicken, die wir in verschiedener Gestalt bei Bolzanos Zeitgenossen Joseph Gergonne und Jeremy Bentham und später bei Henri Poincaré und vor allem bei David Hilbert finden. Vgl. Rusnock (2000, 42–43); und besonders Sebestik ( 2010 ).

⁸⁴Vgl. die Formulierung des Prinzips der Allgemeinheitsabnahme in der Wissenschaftslehre:,[N]icht nur müssen die [begründenden] Sätze … die einfachsten, sie sollen auch die allgemeinsten seyn, aus welchen [der zu begründende Satz] … ableitbar ist‘ (WL II, 387).

⁸⁵Vgl. das schwächere Verbot der Komplexitätsabnahme in der Wissenschaftslehre:,[E]ine jede reine Begriffswahrheit, von der eine andere abhängig ist, [dürfe] wenn auch nicht eben einfacher, doch sicher nie zusammengesetzter als diese letztere seyn‘ (WL II, 374). Vgl. WL II, 386.

⁸⁶Hierzu vgl. Rusnock (2000, 38). In der Wissenschaftslehre wiederholt Bolzano diese Anforderung:,Wir müssen [die zur Ableitung des zu beweisenden Satzes benötigten Sätze] alle in ihrer gehörigen Allgemeinheit, entledigt von jeder unnöthigen Beschränkung, vortragen, und wo statt des mehr sagenden auch schon ein anderer, weniger sagender [Satz] hinreicht, nie uns auf jenen, sondern auf diesen beziehen‘ (WL IV, 249). Hierzu vgl. u. a. Paoli (1991, 234–240), Centrone (2011, 20–22).

⁸⁷ BM 115, sub ‘Vierte Form’. In den Schemata dieser Tafel soll ‘X>Y’ (bzw. ‘X<Y’) so viel heißen wie ‘der Umfang des Begriffs X ist weiter (bzw. enger) als der des Begriffs Y’ (113).

⁸⁸Bolzano schreibt,enger als A und weiter als B‘ aber es handelt sich klarerweise um ein Versehen. Genauso in der Englischen Übersetzung. Vgl. (Russ 2004, 124).

⁸⁹Rusnock erwähnt zwar, dass Bolzano das Medius-Prinzip nicht nur für Regel (I) in Anspruch nimmt, registriert aber nicht den Konflikt zwischen diesem Prinzip und den anderen Regeln, den ich auf den nächsten Seiten herausstellen werde. Er schreibt:,a syllogistic form … will be valid iff the extension of [the intermediate concept] is wider than that of [the subject] but narrower than that of [the predicate]. Bolzano writes out similar requirements for each single inference type, but it is not on this level that the criterion is particularly interesting‘ (Rusnock 2000, p. 38).

⁹⁰Vgl. oben §5. Eine ähnliche Beobachtung findet sich schon in Roski (2010, §2.2).

⁹¹ BM 114 sub ‘Erste Form’. Ich habe seine Buchstaben durch die eben gebrauchten ersetzt.

⁹² BM 114 sub ‘Zweyte Form’; Buchstaben ausgetauscht.

⁹³ BM 114 sub ‘Dritte Form’; Buchstaben ausgetauscht.