An analysis of the vertical structure equation in sigma coordinates

Abstract

An analysis of the vertical structure equation of sigma coordinate primitive equation models is given that brings together and extends the work of several authors. We derive the vertical structure equation, and obtain its solution for a two‐parameter family of vertical structure profiles that includes those of previous studies. For this family, it is shown that in the limiting case of an unbounded atmosphere the spectrum becomes partially continuous, rather than entirely discrete as in the bounded case. A criterion is obtained for the validity of the linearization used to derive the vertical structure equations, and it turns out that this criterion is satisfied by all but one of the previous studies. Asymptotic expansions are derived and used to explain two observations of Wiin‐Nielsen (1971a), viz. why the equivalent depths of the internal modes are relatively insensitive to the precise choice of lower boundary condition, and why one choice in particular leads to the elimination of the external mode; these asymptotic expansions also yield surprisingly accurate numerical values for the equivalent depths. Finally, the projection of atmospheric data onto modes found by direct numerical approximation of the vertical structure equation is shown, particularly for the least grave modes, to be very sensitive to resolution; consequently care must be exercised when interpreting the results of data projection studies that use this approach.

Résumé

On présente une analyse de l'équation de structure verticale des modèles aux équations primitives en coordonnée sigma. Ce travail rassemble et prolonge les travaux de plusieurs auteurs. On dérive l'équation de structure verticale et on la résout pour une famille de profils de stabilité statique à 2 paramètres qui comprend ceux des études antérieures. On montre que pour cette famille le spectre devient partiellement continu dans le cas d'une atmosphère non‐bornée plutôt que complètement discret comme c'est le cas pour une atmosphère bornée. On obtient un critère de validité de la linéarisation effectuée pour obtenir l'équation de structure verticale, et il appert que ce critère est satisfait dans toutes les études antérieures sauf une. On dérive des développements asymptotiques qui nous permettent d'expliquer deux observations de Wiin‐Nielsen (1971a), nçtamment Vinsensibilité relative des profondeurs équivalentes des modes internes au choix de la condition limite inférieure et l'élimination du mode externe avec un choix particulier; les profondeurs équivalentes ainsi obtenues sont d'une précision surprenante. Finalement la projection de données météorologiques sur les modes propres, surtout les moins graves, trouvés à partir d'approximations numériques à l'équation de structure verticale s'avère très sensible à la résolution, par conséquent la prudence s'impose pour l'interprétation des résultats d'études utilisant cette technique.