The Implementation of the Semi-Implicit Scheme in Cell-Integrated Semi-Lagrangian Models

ABSTRACT

The cell-integrated semi-Lagrangian method, in which trajectories from the corner points of a grid cell define its extent at a previous time, may be applied to a set of equations in Lagrangian form derived from the complete set of primitive equations to construct a numerical model which conserves exactly the discrete forms of the global integral constraints of mass, momentum, entrophy and total energy. Due to the fulfilment of these integral constraints one should expect the numerical model to be absolutely stable. Experiments with a simple one-dimensional shallow water model show, however, that a time step dependent instability develops when a CFL criterion for gravity waves is exceeded. Analysis of experiments with one-dimensional shallow water models unveils the mechanism of the instability. Using again for simplicity one-dimensional models a main achievement is a successful implementation of the semi-implicit time stepping scheme in the cell-integrated models.

RÉSUMÉ

La méthode semi-lagrangienne de cellules intégrées, dans laquelle les trajectoires des points de sommet d'une maille de grille définissent son étendue à un temps ultérieur, peut être appliquée à un ensemble d'équations sous forme lagrangienne, dérivé de l'ensemble complet des équations primitives, pour construire un modèle numérique qui conserve exactement les formes discrètes des contraintes intégrales globales de masse, de quantité de mouvement, d'entropie et d'énergie totale. En raison de l'exécution de ces contraintes intégrales, on pourrait supposer que le modèle numérique soit absolument stable; cependant, des essais avec un modèle simple à une dimension en eau peu profonde montre qu'une instabilité en fonction du pas de temps se développe lorsqu'un critère CFL pour les ondes de gravité est dépassé. Les analyses de ces essais révèlent le mécanisme de l'instabilité. Utilisant encore des modèles unidimensionnels par souci de simplicité, un résultat essentiel consiste en l'introduction d'un traitement semi-implicite du pas de temps dans les modèles de cellules integrées.