Error Propagation and Observability for the Constituent Transport Equation in Steady, Non-Divergent, Two-Dimensional Flow

ABSTRACT

There is increasing interest in the application of data assimilation procedures to the analysis of atmospheric trace gas observations from ground- and space-based instruments. Although early constituent assimilation experiments will use conventional statistical interpolation, three-dimensional variational or successive corrections algorithms, it can be expected that, ultimately, more powerful techniques such as the four-dimensional variational or Kalman filter algorithms will be used. One of the benefits of Kalman filter algorithms is that they generate complete second moment error statistics, which makes them ideal for investigating basic data assimilation problems. In this study, Kalman filters (based on discretizations of the constituent transport equation) are used to examine constituent data assimilation in simple two-dimensional, non-divergent flow fields—parallel shear flow, axi-symmetric flow and confluent/diffluent flow. The evolution (i.e. propagation) of second moment error statistics using discrete transport algorithms was compared with the corresponding continuous form discussed by Cohn (1993). Observability, i.e. the ability to determine a unique state from a finite sequence of observations using a Perfect model, was first established with a Kalman filter using stationary observation networks and the results were explained by analysis of the eigenstructures of the discrete transport algorithms. It was found that, in general, very few observation stations were required for observability of constituents. However, in some pathological cases, observability was found to be strongly dependent on the geometry of the flow with respect to the model grid, as well as on the numerics of the transport algorithm.

RÉSUMÉ

L'application des procédures d'assimilation des données à l'analyse des gaz atmosphériques en trace, observés à partir dl instruments au sol et de télédétection, retient de plus en plus l'intérêt. Bien que les premières expériences d'assimilation de constituants utiliseront une interpolation statistique conventionnelle avec des algorithmes de correction à trois dimensions, variables ou successifs, on peut prévoir qu'un jour des techniques plus puissantes, telles que des algorithmes variationnels à quatre dimensions ou à filtre de Kalman seront utilisés. Un des avantages des algorithmes à filtre de Kalman est la génération de statistiques d'erreurs du second ordre, ce qui les rend idéaux pour l'étude des problèmes d'assimilation des données de base. Dans cette étude, les filtres de Kalman (basés sur la discrétisation de l'équation de transport des constituants) sont utilisés pour examiner l'assimilation des données des constituants dans des champs simples d'écoulement non divergeant en deux dimensions: cisaillement parallèle, axisymétrique et confluent/diffluent. On compare l'évolution (c.-à-d., la propagation) des statistiques d'erreurs du second ordre lorsqu'on utilise des algorithmes de transport discrets, aux formes continues correspondantes de Cohn (1993). On a d'abord établi l'observabilité (habilité de déterminer, à l'aide d'un modèle parfait, un état unique à partir d'une séquence d'observations) avec un filtre de Kalman utilisant des réseaux d'observation stationnaires, et ensuite expliqué les résultats par l'analyse des structures propres des algorithmes de transport discrets. En général, on a constaté que très peu de stations d'observation étaient nécessaires pour l'observabilité des constituants sauf dans certains cas pathologiques où cette dernière était fortement dépendante de la géométrie de l'écoulement par rapport à la grille du modèle ainsi que de la discrétisation de l'algorithme de transport.