Construction d'une extension régulière de Q(T) de groupe de Galois M₂₄

Abstract

Matzat a prouvé que Ie groupe de Mathieu de degré 24 est groupe de Galois sur I'extension transcendante Q(T). Il utilise pour cela une construction dite non rigide et prouve I'existence d'un point rationnel dans un espacede Hurwitz adequate Nous donnonsici une telle extension explicitement. Nous en deduisons aussi I'existence d'une extension régulière de K(T) de groupe de Galois M ₂₃ pour tout K tel que I'équation x ²+y ²+z ² = 0 ait une solution non triviale. Pour obtenir ces resultats, il a fallu remplacer les outils habituels du calcul formel par des constructions numeriques et retrouver ensuite les objets algebriques en parametrisant certaines courbes de genre 0. Cela nous permet d'illustrer la puissance des techniques de calcul de reveternents developpees dans [Couveignes 1994; Couveignes et Granboulan 1994].

Matzat has proved that the Mathieu group of degree 24 is a Galois group over the transcendent extension Q(T). He does this by using a construction called nonrigid, proving the existence of a rational point in an appropriate Hurwitz space. Here we perform such a construction explicitly. We also deduce that, for any K such that the equation x ²+y ²+z ² = 0 has a nontrivial solution, there is a regular extension of K(T) with Galois group M₂₃. To achieve this, we had to replace the usual tools of symbolic calculation by numerical constructions, and then to recover the algebraic objects by parametrizing certain curves of genus o. This allows us to illustrate the power of covering map techniques developed in lCouveignes 1994; Couveignes et Granboulan 1994].