Sur la courbe modulaire X_ndép(ll)

Abstract

La courbe modulaire X_ndép(ll) c1assifie les courbes elliptiques E telles que I'image de la répresentation de Galois dans Ie groupe des points de 11-torsion de Esoit contenue dans Ie normalisateur d'un sous-groupe de Cartan non déplové. On sait que X_ndép(ll) est de genre 1. Nous donnons ici une paramétrisation de cette courbe par une certaine courbe elliptique sur Q, de conducteur 121. Nous en déduisons des exemples expl icites de couples de courbes elliptiques sur Q non isogénes sur Q mais donnant des représentations de Galois modulo 11 symplectiquement isomorphes.

The modular curve X_ndép(ll) (or X_nonsplit(ll)) classifies the elliptic curves Esuch that Galois acts on the group of 11-torsion points of E through the normaliser of a non-split Cartan subgroup. It is known that this curve has genus 1. We give here a parametrisation of this curve by a certain elliptic curve over Q with conductor 121. As an application, we give explicit examples of couples of elliptic curves over Q nonisogenous over Q but giving symplectically isomorphic modulo 11 Galois representations.