Sur un système fibré lié à la suite des nombres premiers

Abstract

Nous étudions le système dynamique défini par la transformation Φ :]o, 1] →]0,1] où Φ(x) = px − 1 si x ∊]l/p, 1/q], q et p étant deux nombres premiers conséutifs. La question de I'existence d'une mesure absolument continue invariante par Φ est reliée par un argument de chaîne de Markov à une conjecture concernant un ensemble de suites de nombres premiers. Cette hypothèse est corroborée par des simulations de type Monte-Carlo. Nous montrons que cela entraine la stabilité statistique de Φ sur l'intervalle ]0,2/3]. En utilisant des arguments heuristiques nous définissons des versions simplifiées de l'opérateur de Perron-Frobenius associé à Φ. Cela nous permet de construire à l'aide de Maple une densité de probabilité présentant une bonne adéquation expérimentale avec les histogrammes des orbites issues de constantes fondamentales.

We study the dynamical system defined by the transformation Φ :]o, 1] +]0,1] where Φ(x) = p x – 1 if x ∊]l/p, 1/q], q and p being two consecutive prime numbers. The problem of the existence of an invariant absolutely continuous measure by φ is related via a Markov chain argument to a conjecture concerning a set of prime number sequences. This hypothesis is corroborated by Monte Carlo simulations. We prove that this implies the statistical stability of the transformation Φ on the interval ]0,2/3]. By using heuristical arguments, we define simplified versions of the Perron-Frobenius operator associated to Φ. Using Maple, we construct a probability density presenting a good experimental fit with the histograms of orbits stemming from fundamental constants.

Keywords:

• Prime numbers
• Markov chain