Arithmétique des courbes elliptiques à réduction supersingulière en p

Abstract

We review the main conjecture for an elliptic curve on Q having good supersingular reduction at p and give some consequences of it. Then we define notions of λ-invariant and μ-invariant in this situation, generalizing a work of Kurihara and deduce the behaviour of the order of the Shafarevich-Tategroup up the cyclotomic Z _p -extension. On examples, we give some arguments which, by combining theorems and numeral calculations, allow to calculate the order of the p-primary part of the Shafarevich-Tategroup in cases that are not yet known (nontrivial Shafarevich-Tate group, curves of rank greater than 1).

Nous faisons Ie point sur la conjecture principale pour une courbe elliptique sur Q ayant bonne réduction supersingulière en p et en donnons quelques conséquences. Puis nous définissons la notion de λ invariant et de μ invariant dans cette situation, généralisant un travail de Kurihara et en déduisons la forme de I'ordre du groupe de Shafarevich-Tate le long de la Z _p -extension cyclotomique. Par des exemples, nous donnons quelques arguments qui, en alliant théorèmes et calculs numériques, permettent de calculer I'ordre de la composante p-primaire du groupe de Shafarevich-Tate dans des cas non connus jusqu'à présent (groupe de Shafarevich-Tate non trivial, courbes de rang ≥ 1).

Keywords:

• Courbe elliptique
• supersingulier
• Shafarevich-Tate
• théorie d'Iwasawa
• elliptic curves
• supersingular
• Shafarevich-Tate
• Iwasawa Theory