Sur une méthode de décentrage de schémas d'éléments finis résolvant les équations de Navier-Stokes et de Saint-Venant

ABSTRACT

A unified finite element method for the computation of two dimensional compressible viscous and free surface flows is presented. The Navier-Stokes (resp. Shallow- Water) equations are solved in terms of the dependent variables velocity and a which is the logarithm of the density (resp. of the head water). It is particulary shown that it is necessary to use stable variational formulation at least for the continuity equation to avoid any oscillations in case of rapid flows. The method proposed herein combines the ideas behind Stream-Line Upwinding Petrov Galerkin Method and Flux limiting methods in order to introduce a stabilisation mechanism only where it is required. Numerical computations of relatively high Reynolds number (2000–10000) two-dimensional transonic and transcriticai flows around a NACA-0012 airfoil exhibit a progression from a steady to periodic vortex sheding flows.

RÉSUMÉ

Une méthode d'éléments finis unifiée est présentée pour simuler les écoulements bidimensionnels de fluides compressibles visqueux et les écoulements à surface libre de faibles profondeurs, les équations de Navier-Stokes (resp. de Saint-Venant) sont formulées en termes de variables dépendantes: la vitesse et le logarithme de la densité (resp. de la hauteur d'eau totale). Cela montre en particulier la nécessité d'utiliser une formulation variationnelle stable pour l'équation de continuité dans le cas d'écoulements rapides. Nous proposons une méthode désignée par l'acronyme SUFL (pour Stream-Line Upwinding Flux Limiting Method) qui permet de stabiliser la formulation classique de Galerkin. Celle-ci est basée sur la combinaison de deux méthodes: SUPG (Stream-line Upwinding Petrov-Galerkin Method) et les techniques qui utilisent la notion de limiteur de flux. Des simulations numériques d'écoulements transsoniques et transcritiques autour d'un profil NACA-0012 sont présentées qui montrent la possibilité d'atteindre avec la méthode SUFL des nombres de Reynolds relativement élevés.

KEY WORDS:

• finite elements
• Navier-Stokes
• Shallow-Water equations
• “Streamline Upwinding Petrov Galerkin method” (SUPG)
• Flux limiting methods

MOTS-CLÉS:

• éléments finis
• Navier-Stokes
• Saint-Venant
• ‘stream-line Upwinding Petrov Galerkin method’ (SUPG)
• limiteurs de flux