Uniqueness and convergence of the analytical solution of nonlinear diffusion equation

Abstract

We have discussed the problems of uniqueness of the physical solution of the nonlinear diffusion equation. Here are considered two different ways to express the solutions in the power series. In the first case we will use the power‐series expansion about the zero point. The accuracy of the obtained physical solution is evaluated. However, in this case we get an infinity of different solutions and the problem of the choice of the unique physical solution is considered using the expansion about the point of maximum penetration of the impurities. Then we get only two solutions which differ one from other only in the directions of the diffusion.

Klasikine tiesine difuzijos lygtis yra išvesta iš Fokerio‐Planko lygties darant prielaida, kad difuzijos procesas yra letas. Tačiau tai negali būti taikoma klasikines tiesines difuzijos lygties sprendinio er fc (x/2√Dt) asimptotikai, aprašančiai difunduojančiu priemaišu isiskverbima medž]iagoje neribotai dideliuose atstumuose x. Iš Brauno judejimo teorijos seka, kad per baigtini laika t difunduojančios daleles gali isiskverbti medž]iagoje tik iki baigtinio atstumo nuo difunduojančiu daleliu šaltinio, kuris apytikriai lygus vidutiniam kvadratiniam difunduojančiu daleliu poslinkiui √2Dt). Netiesine difuzijos lygtis pakankamai tiksliai aprašanti difunduojančiu priemaišu pasiskirstyma puslaidininkiuose gauta padarius prielaida, kad difunduojančiu daleliu srauto tankis yra apibrežiamas difuzijos koeficientu D proporcingu priemaišu koncentracijai N. Tuomet srityje, kur priemaišu koncentracija lygi nuliui, difuzijos koeficientas lygus nuliui taip pat. Taip užtikrinama fizikine salyga, kad per baigtini laika priemaišos medžiagoje turi isiskverbti i baigtini gyli. Darbe išdestytas netiesines difuzijos lygties sprendimas, nagrinejant vienmate difuzija iš begalinio šaltinio (kai kieto kūno paviršiuje priemaišu koncentracija Ns yra pastovi), laipsninemis eilutemis dviem skirtingais būdais.