High order optimal anisotropic mesh adaptation using hierarchical elements

Abstract

Anisotropic mesh adaptation has made spectacular progress in the past few years. The introduction of the notion of a metric, directly linked to the interpolation error, has allowed to control the elongation of elements as well as the discretisation error. This approach is however essentially restricted to linear (P⁽¹⁾) finite element solutions, though there exists some generalisations. A completely general approach leading to optimal meshes and this, for finite element solution of any degree, is still missing. This is precisely the goal of this work where we show how to estimate the error on a finite element solution of degree k using hierarchical basis for Lagrange finite element polynomials. We then show how to use this information to produce optimal anisotropic meshes in a sense that will be precised.

L’adaptation de maillages anisotropes a fait des progrès spectaculaires, notamment grâce à l’introduction de la notion de métrique liée à l’erreur d’interpolation. Bien qu’il existe des généralisations, cette approche est toutefois essentiellement réservée à des solutions de type Lagrange linéaire (P(1)). Une approche générale menant à des maillages optimaux et ce, quel que soit le degré d’interpolation utilisé, est toujours manquante. C’est précisément le but de ce travail où nous montrons comment estimer l’erreur sur une solution numérique de degré quelconque à l’aide de bases hiérarchiques d’éléments finis de type Lagrange. Nous montrons ensuite comment utiliser cette information pour produire des maillages anisotropes optimaux, dans un sens qui sera précisé.

Keywords:

• hierarchical elements
• optimal mesh
• high order solutions
• anisotropy
• hierarchical error estimator
• gradient recovery

Mots-clés:

• éléments hiérarchiques
• maillages optimaux
• maillages anisotropes
• estimation
• d’erreurs
• estimation des dérivées

Acknowledgements

The authors wish to acknowledge the financial support of the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada (NSERC).

Notes

1. There is an error in the definition of this function in George (2001) here corrected.