Anneaux de Bhargava

Résumé

Soit D un anneau intégre de corps des fractions K. Pour tout x ∈ D, on étudie l'anneau 𝔹 _x (D) = {f ∈ K[X]| ∀ a ∈ D, f(xX + a) ∈ D[X]}. Ces anneaux forment un recouvrement de l'anneau des polynoˆmes à valeurs entières Int(D) = {f ∈ K[X]| ∀ a ∈ D, f(a) ∈ D}. Pour toute partie E de D, on considère ensuite l'anneau intersection 𝔹 _E (D) = ∩ _x∈E 𝔹 _x (D) et plus particulièrement l'anneau 𝔹 _I (D), pour un idéal I de D. Dans le cas où D est un anneau de Krull, on détermine d'abord les cas triviaux (soit 𝔹 _I (D) = D[X]). Des propriétés de localisation permettent ensuite de se restreindre au cas d'un anneau de valuation discrète V. On détermine une base régulière de l'anneau 𝔹 _x (V) en définissant la notion de suites v-ordonnées d'ordre α dont on donne une caractérisation complète. Il en découle que pour tout anneau D noetherien intégralement clos, 𝔹 _I (D) est une D-algèbre de type fini et donc en particulier un anneau noethérien. En conclusion, on donne des conditions pour qu'il existe une suite (u _n ) de D telle que l'anneau 𝔹 _I (D) admette une base (h _n ) où h _n est de la forme

Key Words:

• Bhargava ring
• Integer-valued polynomial
• P-ordering
• Regular basis

Mathematics Subject Classification:

• 13F20

Acknowledgment

L'auteur adresse ses remerciements à son directeur de thèse Paul-Jean Cahen qui l'a toujours aidée de ses précieux conseils.

Notes

^#Communicated by I. Swanson.