Analytical solution of transient flow in a sloping soil layer with recharge

Abstract

An analytical solution of planar flow in a sloping soil layer described by the linearized extended Boussinesq equation is presented. The solution consists of the sum of steady-state and transient-series solutions, the latter in a separation-of-variables form, and can satisfy an arbitrary initial condition via collocation; this feature reduces the number of series terms, making the solution efficient. Key parameter is the dimensionless linearization depth η _o (R), R being the dimensionless recharge. The variable η _o (R), not the slope, characterizes the flow as kinematic or diffusive, and R ≈ 0.2 demarcates the two regimes. The transient series converges rapidly for large η _o (large R, near-diffusive flow) and slowly as η _o → 0 (kinematic flow). The quasi-steady (QS) state method of Verhoest & Troch is also analysed and it is shown that the QS depth profiles approximate the transient ones well, only if Δt exceeds a system-dependent transition time between flow states (possibly >>1 day). In an application example for a 30-day recharge series, the QS solution differs from the transient one by as much as 20% (RMSE = 15%), does not track recharge changes as well and fails to conserve mass.

Résumé

Nous présentons une solution analytique d'un écoulement planaire dans une couche de sol en pente décrit par l'équation de Boussinesq linéarisée. La solution est la somme d'une composante continue et d'une série de transitoires, ces dernières étant exprimées sous forme de séparation des variables. Cette solution peut satisfaire une condition initiale arbitraire par collocation, ce qui diminue le nombre de transitoires et fournit une solution plus performante. Le paramètre clef est la profondeur de linéarisation η _o (R), adimensionnelle, en fonction du paramètre adimensionnel de recharge R. La variable η _o (R), et non la pente, détermine le caractère cinématique ou diffusif de l'écoulement, et R ≈ 0.2 marque la transition entre les deux régimes. La série de transitoires converge rapidement pour les fortes valeurs de η _o (pour R important, écoulement presque diffusif) mais converge lentement lorsque η _o → 0 (écoulement cinématique). Nous analysons également la méthode de l'état quasi-continu (QC) de Verhoest & Troch et montrons que les profils de profondeur de QC se rapprochent de ceux des transitoires seulement si Δt dépasse un temps de transition, dépendant du système, entre les différents états de l'écoulement (potentiellement >> 1 jour). En prenant pour exemple une série de recharge de 30 jours, la solution QC diffère de celle des transitoires de plus de 20% (RMSE = 15%), ne suit pas les changements de recharge et échoue à conserver la masse.

Key words:

• analytical solution
• hillslope flow
• quasi-steady flow
• recharge
• subsurface stormflow

Mots clefs:

• solution analytique
• écoulement de versant
• écoulement quasi-continu
• recharge
• écoulement événementiel de subsurface