Bootstrap Inference in Cointegrating Regressions: Traditional and Self-Normalized Test Statistics

Figures & data

Table 1 Empirical sizes of the tests for ${\mathrm{H}}_0: {\beta }_1=1, {\beta }_2=1$ at 5% level based on asymptotic critical values.

						Traditional tests
			Self-normalized tests			Bartlett kernel			QS kernel			LR tests
$\varphi$	${\rho }_1,{\rho }_2$	${\tau }_{\text{OLS}}({\widehat{\sigma }}_u^2)$	${\tau }_{\text{IM}}({\tilde{\eta }}^{\perp })$	${\tau }_{\text{IM}}({\widehat{\eta }}^{\perp })$	${\tau }_{\text{IM}}(\widehat{\eta })$	${\tau }_{\mathrm{D}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{FM}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{IM}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\mathrm{D}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{FM}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{IM}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	LR(AIC)	LR(BIC)
Panel A: T = 75
0	0	0.06	0.04	0.03	0.03	0.13	0.15	0.11	0.17	0.20	0.14	0.13	0.10
	0.3	0.25	0.08	0.05	0.05	0.15	0.21	0.14	0.15	0.23	0.14	0.14	0.15
	0.6	0.69	0.15	0.13	0.08	0.24	0.40	0.19	0.23	0.43	0.18	0.16	0.18
	0.9	0.97	0.66	0.75	0.36	0.42	0.83	0.69	0.54	0.88	0.77	0.27	0.25
0.3	0	0.16	0.06	0.04	0.04	0.15	0.18	0.13	0.17	0.21	0.15	0.14	0.11
	0.3	0.34	0.09	0.07	0.06	0.16	0.23	0.15	0.16	0.25	0.15	0.15	0.16
	0.6	0.69	0.16	0.15	0.09	0.25	0.41	0.22	0.27	0.44	0.23	0.19	0.18
	0.9	0.96	0.65	0.72	0.35	0.46	0.81	0.69	0.63	0.89	0.80	0.32	0.30
0.9	0	0.25	0.07	0.05	0.05	0.16	0.19	0.15	0.17	0.23	0.16	0.18	0.15
	0.3	0.39	0.10	0.08	0.07	0.20	0.26	0.18	0.22	0.30	0.19	0.20	0.17
	0.6	0.67	0.17	0.16	0.10	0.28	0.41	0.26	0.33	0.49	0.31	0.23	0.20
	0.9	0.94	0.62	0.69	0.33	0.52	0.79	0.70	0.73	0.90	0.83	0.39	0.37
Panel B: T = 100
0	0	0.06	0.04	0.03	0.04	0.11	0.13	0.10	0.14	0.17	0.12	0.10	0.08
	0.3	0.27	0.07	0.05	0.05	0.13	0.18	0.13	0.12	0.20	0.13	0.11	0.12
	0.6	0.69	0.12	0.11	0.07	0.22	0.35	0.16	0.21	0.35	0.16	0.13	0.13
	0.9	0.98	0.54	0.64	0.29	0.44	0.77	0.59	0.53	0.82	0.65	0.20	0.17
0.3	0	0.16	0.06	0.04	0.05	0.12	0.16	0.12	0.13	0.18	0.13	0.11	0.10
	0.3	0.35	0.09	0.07	0.06	0.14	0.20	0.14	0.14	0.21	0.14	0.12	0.12
	0.6	0.69	0.14	0.13	0.08	0.24	0.35	0.19	0.24	0.38	0.19	0.15	0.12
	0.9	0.96	0.52	0.62	0.29	0.48	0.76	0.59	0.60	0.84	0.69	0.25	0.22
0.9	0	0.25	0.07	0.05	0.05	0.14	0.18	0.13	0.14	0.19	0.14	0.14	0.14
	0.3	0.41	0.09	0.08	0.06	0.17	0.23	0.16	0.18	0.25	0.17	0.15	0.14
	0.6	0.67	0.14	0.14	0.08	0.26	0.36	0.22	0.28	0.42	0.25	0.18	0.15
	0.9	0.94	0.50	0.59	0.27	0.53	0.74	0.60	0.70	0.86	0.74	0.31	0.27
Panel C: T = 250
0	0	0.06	0.04	0.03	0.04	0.08	0.09	0.07	0.09	0.10	0.08	0.07	0.06
	0.3	0.26	0.06	0.05	0.05	0.10	0.12	0.09	0.09	0.11	0.08	0.08	0.05
	0.6	0.70	0.07	0.06	0.06	0.12	0.21	0.10	0.11	0.19	0.10	0.09	0.05
	0.9	0.98	0.19	0.26	0.12	0.23	0.58	0.26	0.26	0.60	0.29	0.11	0.09
0.3	0	0.16	0.05	0.04	0.05	0.09	0.10	0.08	0.09	0.10	0.08	0.08	0.07
	0.3	0.35	0.06	0.05	0.06	0.11	0.13	0.10	0.10	0.12	0.09	0.09	0.06
	0.6	0.69	0.08	0.07	0.06	0.14	0.21	0.11	0.13	0.21	0.11	0.09	0.06
	0.9	0.98	0.20	0.27	0.13	0.29	0.56	0.29	0.33	0.60	0.34	0.12	0.12
0.9	0	0.25	0.06	0.05	0.05	0.10	0.12	0.09	0.09	0.11	0.09	0.09	0.10
	0.3	0.40	0.07	0.05	0.06	0.12	0.15	0.11	0.11	0.14	0.10	0.10	0.10
	0.6	0.67	0.08	0.08	0.07	0.15	0.22	0.13	0.15	0.23	0.13	0.10	0.12
	0.9	0.96	0.21	0.28	0.14	0.35	0.54	0.32	0.43	0.62	0.41	0.14	0.16

Table 2 Empirical sizes of the tests for ${\mathrm{H}}_0: {\beta }_1=1, {\beta }_2=1$ at 5% level based on bootstrap critical values.

							Traditional tests
				Self-normalized tests			Bartlett kernel			QS kernel			LR tests
$\varphi$	${\rho }_1,{\rho }_2$	${\tau }_{\text{OLS}}^{*}({\widehat{\sigma }}_u^2)$	${\tau }_{\text{IM}}^{*}(1)$	${\tau }_{\text{IM}}^{*}({\tilde{\eta }}^{\perp })$	${\tau }_{\text{IM}}^{*}({\widehat{\eta }}^{\perp })$	${\tau }_{\text{IM}}^{*}(\widehat{\eta })$	${\tau }_{\mathrm{D}}^{*}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{FM}}^{*}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{IM}}^{*}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\mathrm{D}}^{*}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{FM}}^{*}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{IM}}^{*}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\text{LR}}^{*}\mathrm{(}\text{AIC}\mathrm{)}$	${\text{LR}}^{*}\mathrm{(}\text{BIC}\mathrm{)}$
Panel A: T = 75
0	0	0.07	0.10	0.07	0.07	0.07	0.06	0.06	0.07	0.05	0.05	0.07	0.06	0.07
	0.3	0.09	0.12	0.08	0.07	0.08	0.06	0.06	0.08	0.06	0.05	0.08	0.07	0.11
	0.6	0.12	0.16	0.09	0.09	0.08	0.09	0.08	0.09	0.09	0.07	0.09	0.07	0.13
	0.9	0.33	0.53	0.24	0.28	0.19	0.14	0.22	0.25	0.18	0.24	0.28	0.08	0.09
0.3	0	0.06	0.10	0.07	0.06	0.07	0.06	0.06	0.07	0.05	0.05	0.06	0.07	0.07
	0.3	0.08	0.13	0.07	0.07	0.08	0.06	0.06	0.08	0.06	0.05	0.08	0.06	0.10
	0.6	0.11	0.18	0.09	0.09	0.09	0.09	0.07	0.10	0.08	0.07	0.09	0.07	0.12
	0.9	0.31	0.53	0.24	0.27	0.19	0.16	0.22	0.26	0.21	0.24	0.29	0.09	0.11
0.9	0	0.09	0.16	0.09	0.10	0.09	0.07	0.08	0.10	0.05	0.06	0.09	0.09	0.09
	0.3	0.10	0.19	0.10	0.11	0.10	0.08	0.08	0.11	0.07	0.06	0.09	0.08	0.09
	0.6	0.14	0.24	0.12	0.13	0.11	0.10	0.08	0.13	0.09	0.07	0.12	0.08	0.11
	0.9	0.31	0.55	0.26	0.29	0.21	0.18	0.23	0.27	0.24	0.24	0.30	0.09	0.11
Panel B: T = 100
0	0	0.07	0.08	0.07	0.07	0.07	0.05	0.06	0.07	0.04	0.05	0.06	0.06	0.06
	0.3	0.08	0.10	0.07	0.07	0.07	0.06	0.06	0.08	0.06	0.05	0.07	0.06	0.09
	0.6	0.11	0.13	0.08	0.08	0.07	0.09	0.06	0.09	0.08	0.06	0.09	0.06	0.09
	0.9	0.29	0.44	0.17	0.22	0.15	0.15	0.18	0.19	0.17	0.18	0.21	0.07	0.06
0.3	0	0.07	0.09	0.07	0.06	0.07	0.05	0.06	0.07	0.04	0.05	0.06	0.06	0.06
	0.3	0.07	0.10	0.07	0.07	0.07	0.06	0.06	0.08	0.06	0.05	0.07	0.07	0.08
	0.6	0.10	0.15	0.08	0.09	0.08	0.09	0.07	0.10	0.09	0.06	0.09	0.08	0.07
	0.9	0.28	0.44	0.18	0.22	0.16	0.17	0.18	0.20	0.20	0.20	0.22	0.09	0.08
0.9	0	0.09	0.13	0.09	0.09	0.08	0.07	0.07	0.09	0.05	0.06	0.08	0.08	0.10
	0.3	0.10	0.16	0.10	0.10	0.09	0.08	0.08	0.10	0.07	0.06	0.09	0.08	0.09
	0.6	0.13	0.21	0.10	0.11	0.10	0.10	0.09	0.11	0.10	0.07	0.10	0.07	0.07
	0.9	0.28	0.46	0.19	0.23	0.17	0.19	0.19	0.22	0.23	0.19	0.24	0.09	0.09
Panel C: T = 250
0	0	0.06	0.06	0.05	0.06	0.06	0.05	0.06	0.06	0.05	0.05	0.06	0.05	0.05
	0.3	0.07	0.07	0.06	0.06	0.06	0.06	0.06	0.06	0.05	0.05	0.06	0.06	0.04
	0.6	0.08	0.09	0.06	0.06	0.06	0.06	0.06	0.07	0.06	0.05	0.06	0.06	0.03
	0.9	0.13	0.19	0.08	0.10	0.08	0.09	0.09	0.09	0.10	0.10	0.10	0.06	0.06
0.3	0	0.07	0.07	0.06	0.06	0.06	0.05	0.06	0.06	0.05	0.05	0.06	0.05	0.06
	0.3	0.07	0.07	0.06	0.06	0.06	0.06	0.06	0.06	0.05	0.05	0.06	0.07	0.04
	0.6	0.08	0.09	0.06	0.06	0.06	0.07	0.06	0.07	0.06	0.06	0.06	0.07	0.04
	0.9	0.14	0.20	0.08	0.10	0.08	0.10	0.10	0.10	0.11	0.10	0.11	0.07	0.08
0.9	0	0.08	0.08	0.06	0.07	0.06	0.05	0.07	0.07	0.05	0.06	0.07	0.06	0.09
	0.3	0.08	0.10	0.07	0.07	0.07	0.06	0.07	0.07	0.05	0.06	0.07	0.06	0.08
	0.6	0.10	0.12	0.07	0.08	0.07	0.07	0.07	0.08	0.07	0.06	0.07	0.06	0.09
	0.9	0.16	0.24	0.09	0.12	0.10	0.12	0.11	0.11	0.13	0.09	0.12	0.06	0.10

NOTE: Superscript “$*$” signifies the use of bootstrap critical values. The VAR sieve bootstrap is based on AIC.

Fig. 1 Asymptotic power of the traditional and self-normalized Wald-type tests for ${\mathrm{H}}_0: \beta ={\beta }_0$ at the nominal 5% level under local alternatives $\beta ={\beta }_0+c T^{-1}$. Note: The power curves for ${\tau }_{\mathrm{D}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$ and ${\tau }_{\text{FM}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$ coincide.

Fig. 2 Size-corrected power of the tests for ${\mathrm{H}}_0: {\beta }_1=1, {\beta }_2=1$ at 5% level based on asymptotic critical values (top row) and bootstrap critical values (bottom row) for T = 100 and $\varphi =0.3$. Note: Long-run variance parameters are estimated using the Bartlett kernel and the VAR sieve bootstrap is based on AIC.

Table 3 Realizations of test statistics for ${\mathrm{H}}_0: \beta =1$.

				Traditional tests
	Self-normalized tests			Bartlett kernel			QS kernel
Country	${\tau }_{\text{IM}}({\tilde{\eta }}^{\perp })$	${\tau }_{\text{IM}}({\widehat{\eta }}^{\perp })$	${\tau }_{\text{IM}}(\widehat{\eta })$	${\tau }_{\mathrm{D}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{FM}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{IM}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\mathrm{D}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{FM}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$	${\tau }_{\text{IM}}({\widehat{\Omega }}_{u·v})$
Australia	75.03	553.76	5.22	0.04	1.00	4.66	0.04	0.81	4.10
Austria	$\mathbf{1387}.\mathbf{1}{\mathbf{5}}^{‡}$	2779.14	52.04	0.98	2.76	4.20	0.78	2.30	3.31
Belgium	945.79	3215.69	31.43	0.34	1.22	4.34	0.26	1.26	3.32
Canada	$\mathbf{780}.\mathbf{8}{\mathbf{7}}^{‡}$	1506.10	49.42	0.03	1.21	6.86	0.03	0.84	6.55
Germany	$\mathbf{1543}.\mathbf{3}{\mathbf{1}}^{†}$	$\mathbf{3428}.\mathbf{5}{\mathbf{9}}^{†}$	87.20	3.03	6.77	7.02	2.50	5.56	5.78
Denmark	57.10	188.85	1.68	0.68	4.47	1.38	0.59	4.21	1.20
Spain	221.66	271.51	135.61	4.64	18.63	$\mathbf{16}.\mathbf{5}{\mathbf{1}}^{‡}$	4.31	16.65	$\mathbf{15}.\mathbf{3}{\mathbf{3}}^{‡}$
Finland	396.46	796.37	73.81	0.35	4.08	8.61	0.30	3.40	7.30
France	214.28	1532.73	97.37	2.13	6.30	9.87	1.77	4.97	8.23
United Kingdom	429.67	1324.88	18.83	0.31	1.41	2.03	0.29	1.73	1.90
Ireland	23.67	88.01	2.00	0.04	0.07	0.75	0.03	0.13	0.60
Iceland	15.17	17.59	1.90	1.47	1.63	2.47	1.21	1.33	2.04
Italy	$\mathbf{481}.\mathbf{5}{\mathbf{6}}^{†}$	$\mathbf{736}.\mathbf{2}{\mathbf{9}}^{‡}$	$\mathbf{254}.\mathbf{4}{\mathbf{3}}^{†}$	$\mathbf{14}.\mathbf{6}{\mathbf{4}}^{†}$	$\mathbf{36}.\mathbf{6}{\mathbf{7}}^{†}$	$\mathbf{33}.\mathbf{0}{\mathbf{4}}^{\star }$	$\mathbf{14}.\mathbf{8}{\mathbf{4}}^{†}$	$\mathbf{37}.\mathbf{0}{\mathbf{3}}^{‡}$	$\mathbf{33}.\mathbf{5}{\mathbf{0}}^{\star }$
Netherlands	193.87	671.68	57.02	1.29	0.90	3.75	1.16	0.45	3.37
Norway	370.22	813.18	44.70	0.02	0.48	4.42	0.02	0.25	4.31
New Zealand	159.91	432.83	2.00	0.13	0.67	1.62	0.10	0.57	1.27
Sweden	368.28	1542.48	24.60	0.24	0.93	5.94	0.25	0.64	6.29
United States	206.56	405.61	53.45	1.12	1.10	4.62	0.95	0.92	3.92
South Africa	16.43	30.25	3.35	0.54	0.38	0.60	0.50	0.24	0.56

NOTE: Bold numbers indicate significance at the nominal 10% level based on asymptotic critical values, whereas superscripts $\star ,†$, and $‡$ indicate significance at the nominal 1%, 5%, and 10% level, respectively, based on VAR sieve bootstrap critical values using AIC. The inflation rates and short-term interest rates are available on https://data.oecd.org/price/inflation-cpi.htm and https://data.oecd.org/interest/short-term-interest-rates.htm, respectively (Accessed: March 24, 2022).

Data Availability Statement

MATLAB code for empirical applications is available on www.github.com/kreichold/CointSelfNorm