A head-to-head comparison of the out-of-control performance of control charts adjusted for parameter estimation

Figures & data

Table 1. Control limit constants.

Chart	$\mathit{\delta }$ (shift)	k	h	Adjusted h
CUSUM	0.5 (small)	0.25	8.01	16.46
	1 (medium)	0.50	4.774	6.68
	1.5(large)	0.75	3.339	4.25
	$\mathit{\delta }$ (shift)	$\mathit{\lambda }$	L	Adjusted L
EWMA	0.5 (small)	0.05	2.490	3.60
	1 (medium)	0.14	2.785	3.42
	1.5(large)	0.25	2.898	3.35
Shewhart	$\mathit{\delta }$ (shift)	$\mathit{\lambda }$	C	Adjusted C
	3 (for all shifts)	1	3	3.24

Table 2. Shewhart CARL values.

Z	Q δ	25^th	50th	75^th
5^th	0	435	623	906
	0.25	102	137	187
	0.50	26	34	43
	0.75	9	11	13
	1	4	5	5
25^th	0	538	780	1149
	0.25	147	200	277
	0.50	36	46	60
	0.75	11	14	17
	1	5	5	6
50^th	0	564	821	1213
	0.25	191	263	368
	0.50	45	58	77
	0.75	14	17	21
	1	5	6	7
75th	0	538	780	1149
	0.25	247	344	487
	0.50	56	74	99
	0.75	16	20	26
	1	6	7	9
95th	0	435	623	906
	0.25	353	499	718
	0.50	80	106	143
	0.75	22	27	35
	1	8	9	11

Table 3. CUSUM CARL values.

		Small			Medium			Large
		k = 0.25, h = 16.46			k = 0.5, h = 6.68			k = 0.75, h = 4.25
Z	Q δ	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th
5^th	0	321	382	460	319	420	564	343	476	673
	0.25	29	31	32	19	21	23	22	25	29
	0.50	15	16	16	8	9	9	7	8	8
	0.75	10	10	11	5	5	6	4	4	5
	1	8	8	8	4	4	4	3	3	3
25^th	0	3226	4622	6785	1058	1529	2254	765	1128	1697
	0.25	38	40	43	29	32	35	36	42	51
	0.50	17	18	18	9	10	11	9	9	10
	0.75	11	11	12	6	6	6	5	5	5
	1	8	8	9	4	4	4	3	3	3
50^th	0	15977	26180	44042	1651	2494	3849	971	1465	2257
	0.25	49	52	55	41	46	52	54	66	81
	0.50	19	20	20	11	11	12	10	11	12
	0.75	12	12	13	6	6	7	5	5	6
	1	8	9	9	4	4	5	3	3	4
75th	0	3226	4622	6785	1058	1529	2254	765	1128	1697
	0.25	67	71	76	64	75	88	87	109	140
	0.50	21	22	23	12	13	14	12	13	15
	0.75	12	13	13	7	7	7	5	6	6
	1	9	9	10	4	5	5	3	4	4
95th	0	321	382	460	319	420	564	343	476	673
	0.25	135	150	168	151	189	239	190	253	344
	0.50	25	26	28	16	17	18	17	19	21
	0.75	14	14	15	7	8	8	6	7	7
	1	10	10	10	5	5	5	4	4	4

Table 4. EWMA CARL values.

		Small			Medium			Large
		λ = 0.05, L = 3.60			λ = 0.14, L = 3.42			λ = 0.25, L = 3.35
Z	Q δ	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th
5^th	0	330	407	510	334	437	583	341	460	632
	0.25	29	30	32	23	25	28	25	29	33
	0.50	15	15	16	10	10	11	9	9	10
	0.75	10	10	11	6	7	7	5	5	6
	1	8	8	8	5	5	5	4	4	4
25^th	0	1979	2749	3894	1084	1530	2198	797	1137	1651
	0.25	38	41	43	34	38	43	39	46	55
	0.50	17	17	18	11	12	13	10	11	12
	0.75	11	11	12	7	7	8	6	6	6
	1	8	8	9	5	5	5	4	4	4
50^th	0	5833	8800	13549	1715	2517	3763	1043	1523	2263
	0.25	50	53	58	48	55	64	57	70	85
	0.50	18	19	20	13	14	15	12	13	14
	0.75	12	12	12	7	8	8	6	7	7
	1	8	9	9	5	5	6	4	4	5
75th	0	1908	2671	3810	1062	1506	2172	788	1127	1639
	0.25	70	77	85	74	87	105	89	111	141
	0.50	21	21	22	15	16	17	15	16	18
	0.75	12	13	13	8	8	9	7	7	8
	1	9	9	10	6	6	6	4	5	5
95th	0	287	362	462	314	416	560	329	448	619
	0.25	148	171	201	166	207	264	189	247	328
	0.50	25	26	27	19	20	22	20	22	25
	0.75	14	14	15	9	9	10	8	8	9
	1	10	10	10	6	6	6	5	5	5

Table 5. Pairwise CARL ratios (CUSUM and EWMA designed for small shift).

		CUSUM/EWMA			CUSUM/SHEWHART			EWMA/SHEWHART
Z	Q δ	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th
5^th	0	0.97	0.94	0.90	0.74	0.61	0.51	0.76	0.65	0.56
	0.25	1.00	1.03	1.00	0.28	0.23	0.17	0.28	0.22	0.17
	0.50	1.00	1.07	1.00	0.58	0.47	0.37	0.58	0.44	0.37
	0.75	1.00	1.00	1.00	1.11	0.91	0.85	1.11	0.91	0.85
	1	1.00	1.00	1.00	2.00	1.60	1.60	2.00	1.60	1.60
25^th	0	1.63	1.68	1.74	6.00	5.93	5.91	3.68	3.52	3.39
	0.25	1.00	0.98	1.00	0.26	0.20	0.16	0.26	0.21	0.16
	0.50	1.00	1.06	1.00	0.47	0.39	0.30	0.47	0.37	0.30
	0.75	1.00	1.00	1.00	1.00	0.79	0.71	1.00	0.79	0.71
	1	1.00	1.00	1.00	1.60	1.60	1.50	1.60	1.60	1.50
50^th	0	2.74	2.98	3.25	28.33	31.89	36.31	10.34	10.72	11.17
	0.25	0.98	0.98	0.95	0.26	0.20	0.15	0.26	0.20	0.16
	0.50	1.06	1.05	1.00	0.42	0.34	0.26	0.40	0.33	0.26
	0.75	1.00	1.00	1.08	0.86	0.71	0.62	0.86	0.71	0.57
	1	1.00	1.00	1.00	1.60	1.50	1.29	1.60	1.50	1.29
75^th	0	1.69	1.73	1.78	6.00	5.93	5.91	3.55	3.42	3.32
	0.25	0.96	0.92	0.89	0.27	0.21	0.16	0.28	0.22	0.17
	0.50	1.00	1.05	1.05	0.38	0.30	0.23	0.38	0.28	0.22
	0.75	1.00	1.00	1.00	0.75	0.65	0.50	0.75	0.65	0.50
	1	1.00	1.00	1.00	1.50	1.29	1.11	1.50	1.29	1.11
95th	0	1.12	1.06	1.00	0.74	0.61	0.51	0.66	0.58	0.51
	0.25	0.91	0.88	0.84	0.38	0.30	0.23	0.42	0.34	0.28
	0.50	1.00	1.00	1.04	0.31	0.25	0.20	0.31	0.25	0.19
	0.75	1.00	1.00	1.00	0.64	0.52	0.43	0.64	0.52	0.43
	1	1.00	1.00	1.00	1.25	1.11	0.91	1.25	1.11	0.91

Table 6. Pairwise CARL ratios (CUSUM and EWMA designed for medium shift).

		CUSUM/EWMA			CUSUM/SHEWHART			EWMA/SHEWHART
Z	Q δ	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th
5^th	0	0.96	0.96	0.97	0.73	0.67	0.62	0.77	0.70	0.64
	0.25	0.83	0.84	0.82	0.19	0.15	0.12	0.23	0.18	0.15
	0.50	0.80	0.90	0.82	0.31	0.26	0.21	0.38	0.29	0.26
	0.75	0.83	0.71	0.86	0.56	0.45	0.46	0.67	0.64	0.54
	1	0.80	0.80	0.80	1.00	0.80	0.80	1.25	1.00	1.00
25^th	0	0.98	1.00	1.03	1.97	1.96	1.96	2.01	1.96	1.91
	0.25	0.85	0.84	0.81	0.20	0.16	0.13	0.23	0.19	0.16
	0.50	0.82	0.83	0.85	0.25	0.22	0.18	0.31	0.26	0.22
	0.75	0.86	0.86	0.75	0.55	0.43	0.35	0.64	0.50	0.47
	1	0.80	0.80	0.80	0.80	0.80	0.67	1.00	1.00	0.83
50^th	0	0.96	0.99	1.02	2.93	3.04	3.17	3.04	3.07	3.10
	0.25	0.85	0.84	0.81	0.21	0.17	0.14	0.25	0.21	0.17
	0.50	0.85	0.79	0.80	0.24	0.19	0.16	0.29	0.24	0.19
	0.75	0.86	0.75	0.88	0.43	0.35	0.33	0.50	0.47	0.38
	1	0.80	0.80	0.83	0.80	0.67	0.71	1.00	0.83	0.86
	0	1.00	1.02	1.04	1.97	1.96	1.96	1.97	1.93	1.89
75^th	0.25	0.86	0.86	0.84	0.26	0.22	0.18	0.30	0.25	0.22
	0.50	0.80	0.81	0.82	0.21	0.18	0.14	0.27	0.22	0.17
	0.75	0.88	0.88	0.78	0.44	0.35	0.27	0.50	0.40	0.35
	1	0.67	0.83	0.83	0.67	0.71	0.56	1.00	0.86	0.67
95th	0	1.02	1.01	1.01	0.73	0.67	0.62	0.72	0.67	0.62
	0.25	0.91	0.91	0.91	0.43	0.38	0.33	0.47	0.41	0.37
	0.50	0.84	0.85	0.82	0.20	0.16	0.13	0.24	0.19	0.15
	0.75	0.78	0.89	0.80	0.32	0.30	0.23	0.41	0.33	0.29
	1	0.83	0.83	0.83	0.63	0.56	0.45	0.75	0.67	0.55

Table 7. Pairwise CARL ratios (CUSUM and EWMA designed for large shift).

		CUSUM/EWMA			CUSUM/SHEWHART			EWMA/SHEWHART
Z	Q δ	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th	25th	50^th	75^th
5^th	0	1.01	1.03	1.06	0.79	0.76	0.74	0.78	0.74	0.70
	0.25	0.88	0.86	0.88	0.22	0.18	0.16	0.25	0.21	0.18
	0.50	0.78	0.89	0.80	0.27	0.24	0.19	0.35	0.26	0.23
	0.75	0.80	0.80	0.83	0.44	0.36	0.38	0.56	0.45	0.46
	1	0.75	0.75	0.75	0.75	0.60	0.60	1.00	0.80	0.80
25^th	0	0.96	0.99	1.03	1.42	1.45	1.48	1.48	1.46	1.44
	0.25	0.92	0.91	0.93	0.24	0.21	0.18	0.27	0.23	0.20
	0.50	0.90	0.82	0.83	0.25	0.20	0.17	0.28	0.24	0.20
	0.75	0.83	0.83	0.83	0.45	0.36	0.29	0.55	0.43	0.35
	1	0.75	0.75	0.75	0.60	0.60	0.50	0.80	0.80	0.67
50^th	0	0.93	0.96	1.00	1.72	1.78	1.86	1.85	1.86	1.87
	0.25	0.95	0.94	0.95	0.28	0.25	0.22	0.30	0.27	0.23
	0.50	0.83	0.85	0.86	0.22	0.19	0.16	0.27	0.22	0.18
	0.75	0.83	0.71	0.86	0.36	0.29	0.29	0.43	0.41	0.33
	1	0.75	0.75	0.80	0.60	0.50	0.57	0.80	0.67	0.71
75^th	0	0.97	1.00	1.04	1.42	1.45	1.48	1.46	1.44	1.43
	0.25	0.98	0.98	0.99	0.35	0.32	0.29	0.36	0.32	0.29
	0.50	0.80	0.81	0.83	0.21	0.18	0.15	0.27	0.22	0.18
	0.75	0.71	0.86	0.75	0.31	0.30	0.23	0.44	0.35	0.31
	1	0.75	0.80	0.80	0.50	0.57	0.44	0.67	0.71	0.56
95th	0	1.04	1.06	1.09	0.79	0.76	0.74	0.76	0.72	0.68
	0.25	1.01	1.02	1.05	0.54	0.51	0.48	0.54	0.49	0.46
	0.50	0.85	0.86	0.84	0.21	0.18	0.15	0.25	0.21	0.17
	0.75	0.75	0.88	0.78	0.27	0.26	0.20	0.36	0.30	0.26
	1	0.80	0.80	0.80	0.50	0.44	0.36	0.63	0.56	0.45