Empirical likelihood inference in autoregressive models with time-varying variances

Figures & data

Table 1. Comparison of the rejection rates of five methods in Model 1 for ${\text{β}}_1\in \{0.1,0.5,0.9\}$, $\kappa \in \{0.1,0.5,0.9\}$, $\delta \in \{0.2,1,5\}$ and the sample size $T\in \{60,200\}$, based on 5000 replications.

			T = 60					T = 200
${\text{β}}_1$	κ	δ	$\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{S}$	$t_1$	$t_2$	$t_3$	EL	$\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{S}$	$t_1$	$t_2$	$t_3$	$\mathrm{E}\mathrm{L}$
0.1	0.1	0.2	0.3386	0.1428	0.0560	0.1010	0.1724	0.3804	0.0972	0.0676	0.0840	0.0958
		1	0.0558	0.0692	0.0560	0.0450	0.0658	0.0436	0.0510	0.0476	0.0414	0.0492
		5	0.0644	0.0712	0.0628	0.0520	0.0654	0.0594	0.0558	0.0536	0.0464	0.0530
	0.5	0.2	0.1480	0.0812	0.0486	0.0506	0.0750	0.1528	0.0636	0.0524	0.0590	0.0610
		5	0.1526	0.0846	0.0682	0.0642	0.0798	0.1422	0.0608	0.0566	0.0528	0.0550
	0.9	0.2	0.0666	0.0716	0.0520	0.0432	0.0700	0.0588	0.0552	0.0498	0.0468	0.0524
		5	0.3400	0.1632	0.1624	0.1258	0.1712	0.3780	0.0966	0.0940	0.0754	0.0956
0.5	0.1	0.2	0.3146	0.1278	0.1066	0.1004	0.1632	0.3826	0.0924	0.0886	0.0884	0.0940
		1	0.0528	0.0666	0.0762	0.0514	0.0646	0.0494	0.0554	0.0648	0.0540	0.0536
		5	0.0622	0.0682	0.0822	0.0548	0.0644	0.0606	0.0564	0.0682	0.0560	0.0542
	0.5	0.2	0.1452	0.0766	0.0830	0.0608	0.0752	0.1600	0.0650	0.0692	0.0640	0.0614
		5	0.1396	0.0792	0.1014	0.0748	0.0736	0.1416	0.0572	0.0664	0.0552	0.0540
	0.9	0.2	0.0654	0.0692	0.0720	0.0474	0.0658	0.0630	0.0590	0.0636	0.0558	0.0574
		5	0.3232	0.1462	0.1952	0.1388	0.1638	0.3760	0.0948	0.01154	0.0796	0.0970
0.9	0.1	0.2	0.1954	0.0836	0.2328	0.1144	0.1278	0.3038	0.0664	0.1926	0.0914	0.0730
		1	0.0544	0.0650	0.1950	0.1172	0.0600	0.0548	0.0584	0.1160	0.0756	0.0560
		5	0.0596	0.0656	0.2086	0.1286	0.0604	0.0638	0.0570	0.1212	0.0792	0.0512
	0.5	0.2	0.1250	0.0724	0.2288	0.1334	0.0714	0.1478	0.0654	0.1492	0.0980	0.0636
		5	0.1442	0.0768	0.2552	0.1632	0.0728	0.1412	0.0580	0.1578	0.0982	0.0560
	0.9	0.2	0.0618	0.0646	0.1844	0.1116	0.0618	0.0650	0.0588	0.1162	0.0808	0.0568
		5	0.2778	0.1136	0.3962	0.2100	0.1454	0.3402	0.0780	0.2406	0.1108	0.0862

Table 2. Comparison of the rejection rates of five methods in Model 2 for ${\text{β}}_1\in \{0.1,0.5,0.9\}$, $[{\kappa }_0,{\kappa }_1]=[0.1,0.9]$, $[{\sigma }_0,{\sigma }_1,{\sigma }_2]\in \left\{\right[0.2,5,0.2],[5,0.2,5\left]\right\}$ and the sample size $T\in \{60,200\}$, based on 5000 replications.

				T = 60					T = 200
${\text{β}}_1$	${\sigma }_0$	${\sigma }_1$	${\sigma }_2$	$\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{S}$	$t_1$	$t_2$	$t_3$	$\mathrm{E}\mathrm{L}$	$\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{S}$	$t_1$	$t_2$	$t_3$	$\mathrm{E}\mathrm{L}$
0.1	0.2	5	0.2	0.0520	0.0888	0.0278	0.0234	0.0712	0.0438	0.0546	0.0360	0.0340	0.0496
	5	0.2	5	0.0570	0.0712	0.0628	0.0492	0.0664	0.0444	0.0504	0.0480	0.0418	0.0488
0.5	0.2	5	0.2	0.0514	0.0762	0.0408	0.0320	0.0714	0.0510	0.0570	0.0472	0.0426	0.0540
	5	0.2	5	0.0548	0.0704	0.0812	0.0498	0.0544	0.0480	0.0558	0.0650	0.0548	0.0540
0.9	0.2	5	0.2	0.0550	0.0698	0.1302	0.0806	0.0640	0.0552	0.0566	0.0976	0.0676	0.0536
	5	0.2	5	0.0522	0.0644	0.1996	0.1178	0.0598	0.0540	0.0598	0.1172	0.0752	0.0572

Table 3. Comparison of the rejection rates of five methods in Model 3 for ${\text{β}}_1\in \{0.1,0.5,0.9\}$, $m\in \{1,2\}$, $\delta \in \{0.2,5\}$ and the sample size $t\in \{60,200\}$, based on 5000 replications.

			T = 60					T = 200
${\text{β}}_1$	m	δ	$\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{S}$	$t_1$	$t_2$	$t_3$	$\mathrm{E}\mathrm{L}$	$\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{S}$	$t_1$	$t_2$	$t_3$	$\mathrm{E}\mathrm{L}$
0.1	1	0.2	0.0820	0.0812	0.0604	0.0446	0.0826	0.0820	0.0550	0.0476	0.0518	0.0546
		5	0.0780	0.0688	0.0624	0.0542	0.0632	0.0828	0.0582	0.0564	0.0540	0.0566
	2	0.2	0.0756	0.0784	0.0548	0.0498	0.0628	0.0676	0.0544	0.0482	0.0464	0.0520
		5	0.1200	0.0854	0.0778	0.0688	0.0716	0.1200	0.0620	0.0596	0.0582	0.0586
0.5	1	0.2	0.0800	0.0772	0.0780	0.0474	0.0782	0.0912	0.0620	0.0674	0.0620	0.0620
		5	0.0872	0.0800	0.0926	0.0670	0.0682	0.0804	0.0560	0.0674	0.0564	0.0544
	2	0.2	0.0766	0.0728	0.0728	0.0550	0.0656	0.0752	0.0602	0.0666	0.0598	0.0600
		5	0.1196	0.0806	0.0104	0.0844	0.0718	0.1212	0.0604	0.0734	0.0640	0.0590
0.9	1	0.2	0.0672	0.06640	0.1972	0.1112	0.0644	0.0830	0.0642	0.1268	0.0822	0.0606
		5	0.0789	0.0688	0.2238	0.1356	0.0578	0.0854	0.0564	0.1322	0.0850	0.0558
	2	0.2	0.0652	0.0676	0.1866	0.1166	0.0562	0.0732	0.0640	0.1198	0.0818	0.0628
		5	0.1258	0.0826	0.2572	0.1686	0.0668	0.1196	0.0622	0.1500	0.0958	0.0608

Figure 1. The relationship between the rejection rates of $\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{S}$, $t_1$, $t_2$, $t_3$, $\mathrm{E}\mathrm{L}$ and the true coefficient ${\text{β}}_1$ in Model 1 $($a single abrupt point model$)$. The abrupt point $\kappa =0.1$, $\delta =0.2$. The true parameter ${\text{β}}_1$ increases gradually from 0.1 to 0.9. (a) The sample T = 60; (b) the sample T = 200.

Figure 2. The relationship between the rejection rates of $\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{S}$, $t_1$, $t_2$, $t_3$, $\mathrm{E}\mathrm{L}$ and the true coefficient ${\text{β}}_1$ in Model 2 $($two abrupt points model$)$. The abrupt points ${\kappa }_1=0.1$, ${\kappa }_2=0.9$, $[{\sigma }_0,{\sigma }_1,{\sigma }_2]=[0.2,5,0.2]$. The true parameter ${\text{β}}_1$ increases gradually from 0.1 to 0.9. (a) The sample T = 60; (b) the sample T = 200.

Figure 3. The relationship between the rejection rates of $\mathrm{O}\mathrm{L}\mathrm{S}$, $t_1$, $t_2$, $t_3$, $\mathrm{E}\mathrm{L}$ corresponding to the true coefficient ${\text{β}}_1$ in Model 3 $($continuous function variance model$)$, and m = 1, $\delta =0.2$. The true parameter ${\text{β}}_1$ increases gradually from 0.1 to 0.9. (a) The sample T = 60; (b) the sample T = 200.