Sur L'origine du ‘Principe Général’ de Jean Le Rond D'Alembert

Summary

This article intends to propose new hypotheses concerning the origin of the ‘Principe général’ of mechanics of Jean Le Rond D'Alembert expressed in its Traité de dynamique in 1743. The examination of the statics of Pierre Varignon and its inheritance suggests that D'Alembert retains, through a case of oblique collision on a hard surface, a method of decomposition and equilibrium of forces which is close to its principle. On the other hand, this principle requires a definition of the equilibrium widely spread in the 17th and 18th centuries, D'Alembert seeming then more to innovate from an epistemological point of view that on a technical one. Finally, the determination of rules of collision based at the same time on decompositions of movements at the level of the centre of mass and on appeal to a principle of relativity constitutes a know-how at the beginning of the 18th century which can be moved closer to methods developed by D'Alembert. These three aspects try then to replace the science of D'Alembert in a context by insisting on the essential role of the collisions of body and on that of the notion of equilibrium concerning the birth of its principle.

Notes

¹ Jean Le Rond D'Alembert, Traité de dynamique, dans lequel les Loix de l'Equilibre & du Mouvement des Corps sont réduites au plus petit nombre possible, & démontrées d'une maniére nouvelle, & où l'on donne un Principe général pour trouver le Mouvement de plusieurs Corps qui agissent les uns sur les autres d'une maniére quelconque (Paris, 1743), 49.

² J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 50, 50.

³ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 50, 50.

⁴ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 50, 49. Des trois types d'actions évoquées, l'impulsion, la traction et l'attraction, l'auteur écrit ne se ‘borner’ dans ce livre qu'aux deux premières.

⁵ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 50, 51.

⁶ J. Le Rond D'Alembert, article ‘Equilibre’, dans Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, par une société des gens de lettres, Tome cinquième (Paris, 1755), 873a.

⁷ J. Le Rond D'Alembert, article ‘Percussion’, dans Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, par une société des gens de lettres, Tome douzième, (Neufchastel, 1765), 331a. Le Traité de dynamique présente un exposé moins détaillé que cet article. Cf. D'Alembert (note 1), art. 125, 138.

⁸ Sur ce point, cf. Craig G. Fraser, ‘J. L. Lagrange's Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics’, dans Calculus and Analytical Mechanics in the Age of Enlightenment, (Brookfield, 1997), 223–5.

⁹ Le Rond D'Alembert, Recherches sur la précession des équinoxes, et sur la nutation de l'axe de la Terre, dans le système newtonien, dans Œuvres Complètes, Série I, Vol. 7 (Précession et nutation (1749–52)), édité par Michelle Chapront-Touzé et Jean Souchay (Paris, 2006). Cf. l'article 37 (‘Lemme IV ’), 101–3, du second chapitre de ce livre, qui contient un tel énoncé du principe, ainsi que les commentaires des éditeurs, notes 86 à 89.

¹⁰ Joseph-Louis Lagrange, Méchanique analitique (Paris, 1788), 191–6.

¹¹ Ernst Mach, La mécanique, exposé critique de son développement (trad. E. Bertrand), (Paris, 1925), 321.

¹² J.-L. Lagrange (note 10), 8. Lagrange en donne un énoncé plus général: ‘si un systême quelconque de tant de corps ou points que l'on veut tirés, chacun par des puissances quelconques, est en équilibre, & qu'on donne à ce systême un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque point parcoure un espace infiniment petit qui exprimera sa vitesse virtuelle; la somme des puissances, multipliées chacune par l'espace que le point où elle est appliquée, parcourt suivant la direction de cette même puissance, sera toujours égale à zero, en regardant comme positifs les petits espaces parcourus sans le sens des puissances, & comme négatifs les espaces parcourus sans un sens opposé’. J.-L. Lagrange (note 10), 10–11.

¹³ J.-L. Lagrange (note 10), 8.

¹⁴ J.-L. Lagrange (note 10), 9.

¹⁵ J.-L. Lagrange (note 10), 9.

¹⁶ J.-L. Lagrange (note 10), 11.

¹⁷ C'est ainsi que Herbert Goldstein définit le principe dans son ouvrage référence Classical mechanics (New Dehli, 2000 (2^nde éd.)), 18. L. Landau et E. Lifchitz nomment le ‘principe de D'Alembert’ une ‘méthode ’ qui ‘consiste essentiellement à écrire pour chacun des corps d'un système les équations , ’, avec les rayons vecteurs des points d'application des forces, la quantité de mouvement du système, son moment cinétique, et l'ensemble des forces appliquées sur les corps comprenant aussi celle de ‘réaction’ (issues des liaisons). Cf. Lev Landau et Evgueni Lifchitz, Mécanique (Moscou, 1982 (4^ème éd.)), 188. Ces auteurs s’éloignent davantage de l’énoncé de D'Alembert que ne le fait H. Goldstein.

¹⁸ Pour ces appellations, cf. Paul Appell, Samuel Dautheville, Précis de mécanique rationnelle (Paris, 1924 (3^ème éd.)), 504. Pour l’équation (2), les auteurs notent que ‘la somme des travaux des forces d'inertie et des forces données est nulle’, ibid., 506.

¹⁹ D'Alembert donne de ce principe ‘sinon une démonstration générale pour tous les cas, au moins les Principes suffisans pour trouver la démonstration dans chaque cas particulier ’ : aussi raisonne-t-il sur des corps ‘regardés comme des points ’ ou des masses finies reliés par des fils ou des verges inflexibles ou bien encore sur le choc de corps élastiques. Cf. J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 155–71, 169–82.

²⁰ La force vive d'un système est égale à la somme des produits des masses de chaque corps par le quarré de leurs vitesses. La force vive d'un mobile vaut le double de son énergie cinétique.

²¹ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 172, 182.

²² Pour cette démonstration, cf. C. G. Fraser, ‘D'Alembert's Principle: The Original Formulation and Application in Jean D'Alembert's Traité de dynamique (1743) (Part two)’, dans C. G. Fraser (note 8), 155–8.

²³ Pour cette démonstration, cf. C. G. Fraser, ‘D'Alembert's Principle: The Original Formulation and Application in Jean D'Alembert's Traité de dynamique (1743) (Part two)’, dans C. G. Fraser (note 8), 158. Cf. aussi C. G. Fraser, ‘J. L. Lagrange's Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics’, dans C. G. Fraser (note 8), 222–3.

²⁴ Titre de la ‘Premiere partie’ du Traité de dynamique. Cf. J. Le Rond D'Alembert (note 1), 3.

²⁵ Titre de la ‘Premiere partie’ du Traité de dynamique. Cf. J. Le Rond D'Alembert (note 1), 3.

²⁶ Titre de la ‘Premiere partie’ du Traité de dynamique. Cf. J. Le Rond D'Alembert (note 1), 3., Préface, xvj. Pour un examen détaillé de ces démonstrations, cf. Alain Firode, La dynamique de D'Alembert (Montréal/Paris, 2001), 85–116.

²⁷ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xvj.

²⁸ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xvj.

²⁹ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xvj.

³⁰ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xvj, Préface, iv.

³¹ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xvj, Préface, iv., Préface, xvj.

³² Cf. A. Firode (note 26), 9 et 132–4.

³³ Michel Paty, D'Alembert ou la raison physico-mathématique au siècle des Lumières (Paris, 1998), 90. Pour une analyse de cette question de la causalité chez D'Alembert, cf. A. Firode (note 26), 35–65 et Véronique Le Ru, Jean Le Rond D'Alembert philosophe (Paris, 1994), 77–106.

³⁴ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xv.

³⁵ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 1, 3.

³⁶ D'Alembert note que ce terme ‘est fort usité aujourd'hui parmi les Savans, pour signifier la Science du Mouvement des Corps, qui agissent les uns sur les autres d'une maniére quelconque’. J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xxiij.

³⁷ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, iv.

³⁸ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xxiij–xxiv.

³⁹ M. Paty (note 33), 93.

⁴⁰ J.-L. Lagrange (note 10), 179.

⁴¹ J.-L. Lagrange (note 10), 180–81.

⁴² Il s'agit de trouver la longueur d'un pendule simple isochrone à un autre composé.

⁴³ J.-L. Lagrange (note 10), 176.

⁴⁴ Jacques Bernoulli, ‘Démonstration generale du centre de Balancement ou d'Oscillation, tirée de la nature du Levier’, Lettre du 15 mars 1703, dans Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Année M. DCC. III. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique, pour la même Année. Tirés des Registres de cette Académie (Paris, 1720 (2^ème éd.)), 78–84.

⁴⁵ J.-L. Lagrange (note 10), 176–7. Pour une analyse de ce mémoire de Bernoulli, cf. Christiane Vilain, ‘La question du ‘centre d'oscillation’ de 1703 à 1743’, Physis, Vol. XXXVII (2000), 444–50.

⁴⁶ J.-L. Lagrange (note 10), 179–80.

⁴⁷ E. Mach (note 11), 316–7 : ‘les recherches sur le centre d'oscillation, dont s'occupèrent presque tous les contemporains et les successeurs les plus marquants de Huyghens, conduisirent à des remarques simples que d'Alembert rassembla enfin en les généralisant dans le théorème qui porte son nom’.

⁴⁸ David Speiser, ‘Die Grundlegung der Dynamik des starren Körpers duch Jacob Bernoulli’, dans Der ausbau des calculus durch Leibniz und die brüder Bernoulli (Stuttgart, 1989), 82–98.

⁴⁹ M. Paty (note 33), 94. L'auteur suggère aussi une autre hypothèse. Remarquant qu'avant la publication du Traité de dynamique en 1743, D'Alembert écrivit plusieurs mémoires (non publiés) relatifs à des problèmes de mécanique des fluides, il suppose que ‘sans doute l'enfoncement des corps solides dans les fluides lui aura-t-il suggéré un rapprochement avec le problème du pendule composé, lui donnant l'idée de son principe, par l'annulation des mouvements virtuels correspondants aux actions compensées en sens opposés, équivalents aux liaisons pour les solides’, M. Paty (note 33), 102. Propos semblables dans M. Paty, ‘Les recherches actuelles sur D'Alembert. A propos de l’édition de ses Œuvres Complètes’, dans Analyse et dynamique, études sur l’œuvre de D'Alembert, édité par Alain Michel et Michel Paty (Laval, 2002), 50–1. L'auteur ne détaille cependant pas cette thèse dans chacune de ces deux références.

⁵⁰ Olivier Darrigol, Worlds of flow. A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl (Oxford, 2005), 12.

⁵¹ Cf. une analyse dans C. Vilain (note 45), 456–9.

⁵² J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 73, 69–70.

⁵³ Ibid., art. 75, 70.

⁵⁴ Jean I Bernoulli, ‘Nouvelle Theorie du Centre d'Oscillation, contenant une Regle pour le déterminer dans les Pendules composés ou balançans non-seulement dans le vuide, mais aussi dans les liqueurs; laquelle Regle est appuyée sur un fondement plus sûr qu'aucun qu'on ait publié jusqu'ici par rapport à cette matiere’, dans Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Année M. DCC. XIV. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique, pour la même Année. Tirés des Registres de cette Académie (Paris, 1717), 208–30.

⁵⁵ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 75, 71. Pour une analyse de la méthode de Jean I Bernoulli, cf. C. Vilain (note 45), 448–50.

⁵⁶ Leonhard Euler, ‘De minimis oscillationibus corporum tam rigidorum quam flexibilum. Methodus nova et facilis’, dans Commentarii Academiæ Scientiarum Imperialis Petropolitanæ. Tomus VII. Ad Annos 1734–1735 (Petropoli, 1740), 99–121.

⁵⁷ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 75, 72. Pour la démonstration de L. Euler, cf. C. Vilain (note 45), 464–5. E. Mach souligne que ‘Hermann (Phoronomia, 1716) et Euler (Comment. de l'Académie de St. Pétersbourg, anc. série, vol. VII, 1740) ont employé le théorème sous cette forme qui ne diffère pas essentiellement de celle de D'Alembert’. Cf. E. Mach (note 11), 321. Jacob Hermann examine le mouvement du pendule composé dans sa Phoronomia, sive de Vriribus et Motibus corporum solidorum et fluidorum (Amsterdam, 1716), 101–10. Voir C. Vilain (note 45), 450–1.

⁵⁸ C. Vilain (note 45), 459.

⁵⁹ O. Darrigol (note 50), 12–14.

⁶⁰ C. G. Fraser, ‘D'Alembert's Principle : The Original Formulation and Application in Jean D'Alembert's Traité de dynamique (1743) (Part one)’, dans C. G. Fraser (note 8), 33.

⁶¹ J. Le Rond D'Alembert, article ‘Statique’, dans Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, par une société des gens de lettres, Tome quinzième, (Neufchastel, 1765), 496b

⁶² Pierre Varignon, Projet d'une nouvelle mechanique avec un Examen de l'opinion de M. Borelli, sur les propriétez des Poids suspendus par des Cordes (Paris, 1687).

⁶³ Bernard Le Bovier de Fontenelle, ‘Eloge de M. Varignon’, dans Histoire de l'Academie Royale des Sciences. Année 1722. Avec les Memoires de Mathematiques & de Phisiques pour la même Année (Paris, 1724), 139–40: ‘La nouvelle Mechanique fut reçûë de tous les Geometres avec applaudissement; & elle valut à son Auteur deux places considerables, l'une de Geometre dans cette Academie en 1688, l'autre de Professeur de Mathematiques au College Mazarin’.

⁶⁴ P. Varignon (note 62), Préface (non paginée). Les ‘principes’ jusqu’à lors utilisés prouvent qu'ils ne peuvent servir ‘tout au plus, qu’à démontrer que l’équilibre se trouve toujours dans le levier auquel sont appliquez deux poids qui sont entr'eux en raison réciproque des distances de leurs lignes de direction à son point d'appui’.

⁶⁵ L'absence de généralité des principes, ‘c'est peut être ce qui a porté M. Descartes, & M. Wallis a prendre une autre route; quoi qu'il en soit, ce n'a pas été sans succez, puisque celle qu'ils ont suivie, conduit également à la connoissance des usages de chacune de ces machines, sans être obligé de les faire dépendre l'une de l'autre ; outre qu'elle a mené M. Wallis beaucoup plus loin qu'aucun Autheur, que je sçache, n'eût encore été de ce côté-là’, ibid., Préface. La ‘dépendance’ dénoncée consiste à recourir au levier pour déterminer les conditions d’équilibre dans les autres machines. Les principes de Descartes et Wallis correspondent à celui des vitesses virtuelles (cf. supra 1.1 Le principe et ses énoncés). Sur ce principe chez Descartes, cf. 4.2.1 E. Mariotte et C.-F. Milliet Dechales; pour Wallis, cf. John Wallis, Mechanica: sive, De Motu, Tractacus Geometricus, 3 vol. (Londres, 1670–1), I, Caput II, Prop. VII à Prop. VIII, 39–41.

⁶⁶ P. Varignon (note 62), Préface.

⁶⁷ Ibid., Préface. ‘Il faut entrer dans la génération de l’équilibre pour y voir en soi, & pour y reconnoître les propriétez que tous les autres principes ne prouvent, tout au plus, que par nécessité de conséquence’.

⁶⁸ Ibid., Préface.

⁶⁹ Concernant l'application du calcul différentiel et intégral leibnizien à la dynamique newtonienne, cf. Michel Blay, La naissance de la mécanique analytique. La science du mouvement au tournant des XVIIe et XVIIIe siècle (Paris, 1992).

⁷⁰ Pierre Varignon, Nouvelle Mécanique ou Statique. Dont le projet fut donné en M.DC.LXXXVI, 2 vol. (Paris, 1725).

⁷¹ Cf. E. Mach (note 11), 44: ‘la statique est pour lui [Varignon] un cas particulier de la dynamique’; il a ‘toujours à l'esprit le problème général de dynamique et […] il limite volontairement sa recherche au cas d’équilibre’ offrant alors une ‘statique dynamique’.

⁷² Il ne faudrait pas lire le traité de Varignon comme un projet de réduction de la dynamique à une statique, les cas de collisions de corps n'apparaissent que marginaux dans cet ouvrage.

⁷³ P. Varignon (note 70), I, 6–7. Puisque D'Alembert fait du livre de 1725 un ouvrage référence et qu'il contient des exemples de collisions qui importent pour notre étude, nous nous appuyons sur cette édition beaucoup plus ample que celle de 1687 pour présenter les principes de la statique de Varignon.

⁷⁴ Dans cet axiome, Varignon énonce qu'un ‘un corps […] pressé, poussé, ou tiré tout à la fois par deux forces égales, & directement opposées […] doit rester immobile, c'est-à-dire, en repos, sans autre obstacle que la contrarieté de ces forces qui se détruisent, ou s'empêchent également l'une l'autre, chacune soûtenant l'autre toute entiere’. Ibid., Axiome III, 5.

⁷⁵ Cette définition stipule que ‘deux ou plusieurs forces sont dites en Equilibre entr'elles, lorsqu'agissant l'une contre l'autre, ou contre un obstacle commun, elles ne l'emportent ni l'une sur l'autre, ni sur cet obstacle ; c'est-à-dire, lorsque tout demeure en repos, nonobstant l'action de ces forces ou puissances l'une contre l'autre, ou contre l'obstacle qui les arrête, & qu'on appelle Appui’. Ibid., Définition V, 4.

⁷⁶ Ibid., Corollaire I, 7.

⁷⁷ Ibid., 8.

⁷⁸ Ibid., 8.

⁷⁹ Ibid., Corollaire II, 7–8.

⁸⁰ J. Le Rond D'Alembert, article ‘Composition de mouvement’, dans Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, par une société des gens de lettres, Tome troisième (Paris, 1753), 770b et l'article ‘Force mouvante’, Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, par une société des gens de lettres, Tome septième (Paris, 1757), 120a: ‘pour calculer le cas de l’équilibre, il suffit d'employer le principe de la composition & de la décomposition des forces. Il faut pour cela prolonger d'abord, s'il est nécessaire, les directions de deux forces quelconques, & chercher celle qui en résulte; ensuite chercher la résultante de cette derniere & d'une troisieme force, & ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on soit arrivé à une derniere force, qui doit ou être = o, ou au moins passer par un point fixe, pour qu'il y ait équilibre. En effet, si cette derniere force qui résulte de la réunion de toutes les autres, n’étoit pas égale à zéro, ou ne passoit pas par un point fixe dont la résistance anéantît son action, il n'y auroit pas d’équilibre, comme on le suppose, puisque cette force produiroit alors quelque mouvement. Ce principe de la réduction de toutes les forces à une seule, renferme toute la Statique, & on peut en voir l'application aux articles des différentes machines’; D'Alembert cite Varignon quelques lignes avant ce paragraphe.

⁸¹ Cf. P. Varignon (note 70), I, 305–20.

⁸² Ibid., Lemme III, 28. A correspond au centre de masse du corps. AC et AB représentent les intensités de E et F.

⁸³ Ibid., 27. Le raisonnement vaut pour F avec les composantes AP, AM.

⁸⁴ Ibid., 27–8.

⁸⁵ Ibid., 28.

⁸⁶ Ibid., Corollaire VII, 35.

⁸⁷ Ibid.

⁸⁸ Ibid.

⁸⁹ Ibid., Corollaire VIII, 35–36.

⁹⁰ Ibid., cf. Axiome III, 5 et Définition V, 4 (cf. supra notes 74 et 75).

⁹¹ Jean-Jacques Dortous de Mairan, ‘Recherches physico-mathematiques sur la reflexion des corps’, dans Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Année 1722. Avec les Memoires de Mathematiques et de Phisique, pour la même Année (Paris, 1724), 8–10. B. Le Bovier de Fontenelle signe l'approbation à la publication de la Nouvelle Mécanique de Varignon après examen du livre par, entre autres, J.-J. Dortous de Mairan (Cf. Registres des Procès Verbaux de l'Académie Royale des Sciences, séance du 6 décembre 1724, tome 43, f°357). Notons, par ailleurs, que le volume de l'année 1722 de l’Histoire de l'Académie est édité en 1724.

⁹² Joseph Privat de Molières, Leçons de Phisique, Concernant les Elémens de la Phisique, déterminés par les seules Loix des Mécaniques. Expliquées au Collége Royal de France, 4 vol. (Paris, 1734–9), I, Proposition XIV, 60–4 (choc direct) et Proposition XV, 64–76 (choc oblique). Molières ne mentionne pas Varignon.

⁹³ Thomas Le Seur et François Jacquier, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Auctore Isaaco Newtono. Perpetuis Commentariis illustrata, 3 vol. (Genève, 1739–42), I, note 51, 31. Les auteurs évoquent explicitement la mécanique de Varignon (ibid., note 49, 30). Ils donnent aussi un petit précis de statique basée sur des compositions et résolutions de forces (ibid., note 41–4, 26–7) en invitant à consulter W. J. s'Gravesande (ibid., note 44, 27). Ce dernier étudie l’équilibre de trois puissances et les relations entre ces dernières et les sinus des angles du triangle qu'elles forment suivant la méthode développée par Varignon en 1687, cf. Willem Jacob's Gravesande, Physices elementa mathematica, experimentatis confirmata. Sive introductio ad philosophiam newtonianam, 2 vol. (Leyde, 1725 (2^nde éd.)), I, 49–50; cf. P. Varignon (note 62), 7–14 pour cette relation et son application aux poids suspendus par des cordes. En 1742, s'Gravesande écrit à propos du ‘triangle de Varignon ’ avoir considéré ‘dans les Editions précédentes […] un point en repos, tiré par trois puissances, & donné la démonstration de Varignon (16) ‘. Cf. W. J.'s Gravesande, Elemens de physique demontrez mathematiquement et confirmez par des experiences ; ou introduction a la philosophie newtonienne, 2 vol., (Leyde, 1746 (trad. de la 3^ème éd. de 1742)), I, xx–xxi. La note (16) renvoie à ‘Projet d'une Nouvelle Mechan. Lemme 3. & prob. p. 23’.

⁹⁴ Jean-François Trabaud, Principes sur le mouvement et l’équilibre, pour servir d'introduction aux Mécaniques & à la Physique (Paris, 1741), art. 173–179, 68–69. Trabaud cite de nombreuses fois la ‘nouvelle Mécanique’ de Varignon, dans laquelle ce dernier ‘déduit les proprietez de toutes les machines simples ou élémentaires, en leur appliquant immédiatement le principe des mouvemens composés’, ibid., art. 84, 324.

⁹⁵ J. Privat de Molières (note 92), I, Proposition V à Proposition XII, 21–55 ; T. Le Seur et F. Jacquier (note 93), notes 33 à 44, 24–7 ; J.-F. Trabaud (note 94), art. 152–201, 59–78.

⁹⁶ J. Privat de Molières (note 92), Proposition I, 77–86; T. Le Seur et F. Jacquier (note 93), note 83, 47; J.-F. Trabaud (note 94), art. 186–99, 193–4.

⁹⁷ P. Varignon, ‘Des poids qui tombent ou qui montent le long de plusieurs plans contigus’, 31 décembre 1693, dans Mémoires de l'Académie Royale des Sciences. Depuis 1666 jusqu’à 1699. Tome X (Paris, 1730), 440. Cf. Galileo Galilei, Discorsi e demonstrazioni matematiche interno a due nuove scienze, in Le opere di Galileo Galilei, 20 vol. (Firenze, 1890–1909), VIII, Theorema X, 228–229.

⁹⁸ B. le Bovier de Fontenelle, ‘Sur les vitesses des corps mus suivant des courbes’, dans Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Année MDCCIV. Avec les Mémoires de Mathématiques & de Physique, pour la même Année. Tirés des Registres de cette Académie (Paris, 1745), 105: ‘M. Varignon démontra en 1693 que cette proportion de Galilée [appliquée aux plans contigus], admise jusque-là par tous les Géometres, étoit fausse’. Que Varignon, le premier, corrige ce théorème galiléen, tel est le témoignage apporté par Gabrielle Emilie Le Tonnelier de Breteuil, Marquise du Châtelet, Institutions physiques (Paris, 1742), note du § 437, 372–375.

⁹⁹ Cf. P. Varignon, ‘Maniere de discerner les vitesses des corps mûs en lignes courbes’, dans Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Année MDCCIV. Avec les Mémoires de Mathématiques & de Physique, pour la même Année. Tirés des Registres de cette Académie (Paris, 1745), 293–4.

¹⁰⁰ B. Le Bovier de Fontenelle (note 98), 106–7.

¹⁰¹ ‘s Gravesande affirme que le mouvement sur les plans contigus respecte la loi de chute libre. Cf. Willem Jacob's Gravesande, Physices elementa mathematica, experimentatis confirmata. Sive introductio ad philosophiam newtonianam, 2 vol. (Leyde, 1725 (2^nde éd.)), 63–4. En 1740, la Marquise du Châtelet soutient une thèse identique. Cf. Gabrielle Emilie Le Tonnelier de Breteuil, Marquise du Chatelet, Institutions de physique (Paris, 1740), § 438 et § 439, 351–2. Dans la seconde édition de ce livre, elle revient longuement sur cette conclusion en précisant que la lecture du Mémoire de 1693 de Varignon est l’élément déterminant sa correction : à chaque discontinuité la perte de vitesse correspond à un infiniment petit du deuxième ordre. Cf. Marquise du Châtelet (note 98), § 437 à § 439, 367–75.

¹⁰² J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 21 à 26, 22–30.

¹⁰³ Ibid., art. 29, 32 (choc direct) et art. 30, 32–3 (choc oblique).

¹⁰⁴ Ibid., art. 31 à 37, 33–7. Sans détailler le raisonnement de D'Alembert, notons qu'il critique la manière dont ‘on démontre d'ordinaire […] que la perte totale [de vitesse] n'est qu'infiniment petite du premier [ordre] ‘(ibid., art. 37, 36) ; il refuse d'assimiler la courbe à un polygone et réfute cette conclusion (le mobile ne perd pas de vitesse).

¹⁰⁵ Ibid., art. 38 à 49, 37–48.

¹⁰⁶ Ibid., art. 47, 46–7.

¹⁰⁷ Ibid., art. 49, 48 : ‘je me contente, n'ayant là-dessus rien de nouveau à dire, de renvoyer mes Lecteurs aux Livres qui en traitent, & particuliérement à l'Ouvrage de M. Trabaud qui a paru l'année derniére, & qui a pour titre: Principes sur le Mouvement & l'Equilibre; Ouvrage où cette matiére & plusieurs autres sont traitées avec exactitudes & avec clartés’.

¹⁰⁸ Jean Le Rond D'Alembert, ‘Du mouvement d'un corps qui s'enfonce dans un fluide ou essai d'une nouvelle theorie de la Refraction des corps solides’, texte lu les 12, 15, 19, 22, 26, 29 juillet et 2 août 1741, dans Registres des Procès-Verbaux de l'Académie Royale des Sciences. Tome 60, 369: concernant les différentes théories relatives à la réfraction, D'Alembert estime ‘que nous avons la-dessus d'excellents morceaux, entre autres deux mémoires de Mr de Mairan, imprimées parmi ceux de l'Académie en 1722 & 1723’.

¹⁰⁹ Manuscrits 2033 (fol. 23r° à 30v°) et 2467 (fol. 235r° au fol. 242v°) intitulés ‘Remarques sur quelques endroits des Principes de Newton’. Pour un examen de ces documents, voir François De Gandt, ‘Les études newtoniennes du jeune D'Alembert’, Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie, 38 (2005), 177–90.

¹¹⁰ J. Le Rond D'Alembert, article ‘Mouvement’, dans Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, par une société des gens de lettres. Tome dixième (Neufchatel, 1765), 840b: ‘on peut lire les chapitres xj. & xij. des Institutions physiques de madame du Châtelet, dont nous avons extrait une partie de cet article’.

¹¹¹ Cf. Christophe Schmit, ‘Les articles de mécanique de l'Encyclopédie, ou D'Alembert lecteur de Varignon’, Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie, 46 (2011), 169–199.

¹¹² J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xiii–xiv. Nous mettons ici en italiques une phrase qui ne figure pas comme telle dans cette citation.

¹¹³ Ibid., Préface, xiv.

¹¹⁴ Ibid., art. 39 p. 37.

¹¹⁵ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 43 p. 42.

¹¹⁶ Ibid., Préface, xiv.

¹¹⁷ Ibid., Préface, xix.

¹¹⁸ J. Le Rond D'Alembert (note 6), 873a

¹¹⁹ J. Le Rond D'Alembert, article ‘Force’, dans Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, par une société des gens de lettres, Tome septième (Paris, 1757), 112b–13a.

¹²⁰ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 43, 42.

¹²¹ L'article ‘Force’ contient des ‘réflexions sur les forces mortes, & leurs différentes especes’ guidées par des lectures des écrits de Leibniz et le Mémoire de 1726 de Jean I Bernoulli (voir infra). Cf. J. Le Rond D'Alembert (note 119), 116b. D'Alembert reproduit la définition de la force morte de Leibniz : ‘Supposons, dit M. Leibnitz, un corps pesant appuyé sur un plan horizontal. Ce Corps fait un effort pour descendre; & cet effort est continuellement arrêté par la résistance du plan ; de sorte qu'il se réduit à une simple tendance au mouvement. M. Leibnitz appelle cette force & les autres de même nature, forces mortes’, ibid., 112b.

¹²² Ibid., 116b: ‘les forces mortes […] deviennent des forces accélératrices ou retardatrices, lorsqu'elles sont en pleine liberté de s'exercer; car leur action continuée, ou accélere le mouvement, ou le retarde, si elle agit en sens contraires’.

¹²³ Ibid.

¹²⁴ J. Le Rond D'Alembert (note 110), 834a–34b.

¹²⁵ J. Le Rond D'Alembert, article ‘Moment’, dans Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, par une société des gens de lettres. Tome dixième (Neufchatel, 1765), 633b.

¹²⁶ J. Le Rond D'Alembert, article ‘Méchanique’, dans Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, par une société des gens de lettres. Tome dixième (Neufchatel, 1765), 223a–23b.

¹²⁷ Sur le recours à une quantité de mouvement (produit masse-vitesse) dans l'explication de l’équilibre sur une machine par E. Bézout et C. Bossut, cf. Thomas L. Hankins, Jean D'Alembert and the Enlightenment (Oxford, 1970), 203–4. De telles remarques valent pour J.-F. Trabaud. Ce dernier remarque que lorsque deux poids suivent la proportion inverse des longueurs des bras de levier, ‘ils tendent à être mûs avec des quantitez égales de mouvement’. Les vitesses sont comme les arcs décrits par les extrémités des bras et dans le même rapport que leurs longueurs, ainsi elles ‘sont entr'elles réciproquement comme les poids ou leurs masses; donc les quantitez de mouvement sont égales’, voir J.-F. Trabaud (note 94), art. 19, 293. Il note encore que les poids ‘sont sollicitez à prendre des quantitez égales de mouvement, ou tendent à être mûs avec des forces égales’ (ibid., art. 32, 300); que ‘puisque les quantités de mouvement sont égales, les vitesses sont dans la raison réciproque des masses’, ou que ‘les poids sont dans la raison des masses’ (ibid., art. 33, 300).

¹²⁸ T. L. Hankins (note 127), 203–4.

¹²⁹ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 49, 47.

¹³⁰ T. L. Hankins (note 127), 203–4: ‘D'Alembert was particularly vulnerable, because his mechanics of hard-body impact and his denial of forces led him to measure all mechanical effects by change of momentum-even in statics where the momentum could only be ‘virtual’. The result was an almost inevitable confusion between work and momentum’.

¹³¹ Edme Mariotte, Traité du mouvement des eaux & des autres corps fluides (Paris, 1686), Règle II, 76. Cette ‘grosseur ’ s'identifie à une quantité de matière, Mariotte précisant que des corps d'une même matière ‘ont leurs poids proportionnés aux quantités de leurs matières’ et utilisant dans cette Règle II le poids des corps, ibid. Par pesanteur d'un corps, Mariotte entend ‘son volume, avec une certaine solidité ou condensation des parties de sa matiere, qui est vray-semblablement la cause de sa pesanteur’ ; il note que’ l'on appellera tousiours la quantité de mouvement d'un corps, le produit de son poids par sa vitesse, soit qu'il aille de haut en bas, ou de bas en haut, ou horizontalement, &c.’, cf. E. Mariotte, Traitté de la percussion ou chocq des corps. Dans lequel les principales Regle du mouvement, contraires à celles que M^rDESCARTES, ou quelques autres Modernes ont voulu establir, sont demontrées par leur veritables Causes (Paris, 1673), Proposition IV, 33–4.

¹³² E. Mariotte, Traitté de la percussion ou chocq des corps. Dans lequel les principales Regle du mouvement, contraires à celles que M^rDESCARTES, ou quelques autres Modernes ont voulu establir, sont demontrées par leur veritables Causes (Paris, 1673), Proposition VI, 38.

¹³³ Ibid., Proposition VI, 41. Dans un ‘Avertissement’, Mariotte écrit que ‘ce principe d'experience ou regle de la nature, & cette consequence sont presque la mesme chose que ces principes de Mechanique; les corps dont les poids & les distances sont reciproques en une balance, font equilibre; & s'ils font equilibre, leurs poids & leurs distances sont reciproques’ car ‘la cause naturelle de l'equilibre de deux corps qui ont leurs poids & leurs distances reciproques, procede de ce qu'ils sont disposez à se mouvoir avec des vistesses reciproques à leurs poids; celui dont la distance est sous-double, ne pouvant descendre que l'autre qui est supposé peser la moitié moins, ne s'esleve avec une vistesse deux fois plus grande’. Aussi, Mariotte conclut que ‘le principe de Mechanique, que les poids égaux en des distances inégales pesent inégalement, se doit entendre lors que ces poids sont mis ensemble d'un costé & d'autre de la balance; puis que les forces de pesanteur qu'ils ont en ces distances differentes, procedent de ce qu'ils sont disposez à se mouvoir avec des vistesses differentes’. Ibid., 40–4.

¹³⁴ E. Mariotte, Traité de la percussion ou choc des corps, dans Œuvres de M. Mariotte de l'Académie Royale des Sciences, 2 vol. (Paris, 1740), I, Proposition XV, 29. Cette expression n'apparaît pas dans l’édition de 1673.

¹³⁵ Edme Mariotte, Traité du mouvement des eaux & des autres corps fluides (Paris, 1686), 85.

¹³⁶ Pour la balance, Mariotte entend prouver ‘facilement le principe de mechanique, qui a été mal prouvé par Archimede, par Galilée, & par plusieurs Auteurs ; sçavoir, que lors qu'en une balance les poids sont reciproques à leurs distances du centre de la balance, ils font équilibre’. Il suppose une balance équilibrée BAC, de point d'appui A, avec AC = 4AB et les poids B = 4C : si B ‘l'emporte’, il décrit un arc et fait mouvoir C quatre fois plus vite. Or, sous ces hypothèses, ‘les quantitez de mouvement de ces deux corps seroient égales, & une quantité de mouvement auroit forcé une qui luy seroit égale ; ce qui est impossible’ puisque la Règle II (cf. note 131) prévoit un équilibre pour une telle égalité : la collision sert ainsi à fonder la proportion jusqu'alors reconnue entre les bras d'un levier et les poids. Cf. E Mariotte (note 135), 77–78.

¹³⁷ E. Mariotte (note 135), Règle III, 82–83. Cette Règle III stipule que l’évaluation de la ‘force’ de poids sur une machine repose sur la prise en compte de leurs vitesses verticales, ibid., 79.

¹³⁸ Ibid., 84.

¹³⁹ E. Mariotte (note 132), Proposition IV, 33.

¹⁴⁰ Ibid., Proposition IV, 31.

¹⁴¹ Ibid., Proposition II, 23. Pour cette ‘poussée’: ‘si un corps estant en mouvement est poussé par un autre corps selon la mesme ligne de direction, ou selon une autre, le corps poussé prendra un mouvement qui dépendra des deux causes & sera composé du premier mouvement & du second, tant à l’égard de sa direction, qu’à l’égard de sa vîtesse’.

¹⁴² Ibid., Proposition III, 25–28.

¹⁴³ Claude-François Milliet Dechales, Traitté du mouvement local, et du ressort. Dans lequel, leur Nature, & leurs Causes, sont curieusement recherchées, & où les Loix qu'ils observent dans l'acceleration & les pendules, & encore dans la percussion & la reflexion des corps, sont solidement establies (Lyon, 1682), Proposition seconde, 76–77.

¹⁴⁴ Ibid., Proposition seconde, 76.

¹⁴⁵ Descartes écrit que l’équilibre sur les machines ‘n'est fondé que sur un seul principe, qui est que la mesme force qui peut lever un poids, par exemple, de cent livres a la hauteur de deux pieds, en peut aussy lever un de 200 livres, la hauteur d'un pied’, voir la lettre à C. Huygens du 5 octobre 1637, dans Œuvres de Descartes, éditées par Charles Adam et Paul Tannery, 12 vol. (Paris, 1996), I, 435–436. Dans ce courrier, Descartes évoque ‘l'action nécessaire pour produire’ le déplacement du poids. Il précise à Mersenne qu'il prend en compte un ‘commencement du mouvement’ (ibid., II, Lettre à Mersenne du 13 juillet 1638, 229) et que l’’ action’ ou ‘force’ a ‘toujours deux dimensions’ car combinant un poids avec un déplacement (ibid., II, Lettre à Mersenne du 12 septembre 1638, 353).

¹⁴⁶ C.-F. Milliet Dechales (note 143), Proposition seconde, 76. Concernant cette restitution d'une même quantité de mouvement, l'auteur note que ‘si on a esté obligé d'employer la force d'un poids d'une livre qui descend deux pieds, il [le ressort] n'aura pas plus de force qu'il en faut pour porter le poids d'une livre à la hauteur de deux pieds’, ibid., Proposition première, 74.

¹⁴⁷ Ibid., Proposition seconde, p. 77–78 : car ‘il faut autant de force pour donner la vitesse de quatre degrez à un corps d'une livre, que pour produire celle de deux degrez dans le corps de deux livres’. Cette force du ressort requiert indifféremment déplacement ou vitesse et Dechales mobilise tout à la fois les principes statiques cartésien et galiléen.

¹⁴⁸ Ibid., Corollaire I de la Proposition dixième, 101.

¹⁴⁹ Ibid., Proposition dixième, 100.

¹⁵⁰ Ibid., Proposition huitième, 97.

¹⁵¹ Ibid.

¹⁵² Ibid., Proposition dix-huitième, 139. Dechales établit la quasi intégralité de ses règles de chocs inélastiques par le biais de changement de référentiel (le recours à un navire sur lequel s'opère le choc qu'observe un personnage sur la berge) avec pour collision référence celle d'un mobile allant contre un corps au repos (ibid., Proposition seizième, 129–131) et non ce choc conduisant à un équilibre.

¹⁵³ Ibid., Proposition dix-neuvième, 437.

¹⁵⁴ Remarquons que selon Dechales, ce ne sont pas les vitesses de rejaillissement qui suivent la proportion inverse des poids, mais les quantités de mouvement, ibid., Proposition sixième, 88–9 et Proposition treizième, 414–5. Seules ses règles de collisions impliquant des poids égaux s'avèrent alors exactes.

¹⁵⁵ Ibid., Proposition dix-huitième, 139.

¹⁵⁶ ‘Ictûs magnutido æquipollet duplo momenti ablati in directè impingentium (si quod fit) fortiori’. Cf. John Wallis (note 65), III, Prop. V, 666.

¹⁵⁷ C.-F. Milliet Dechales (note 143), Proposition vingt-et-unième, 336: ‘Le moment d'un corps, qui est posé sur un plan incliné, au moment du même corps, qui descend perpendiculairement, à même raison que la perpendiculaire au plan incliné’.

¹⁵⁸ Ibid., Proposition vingt-et-unième, 337. GH ‘mesure le mouvement perpendiculaire du poids A'lorsque ‘A, monteroit de B, en G’, comme CE mesure celui de D lorsqu'il ‘descendroit de C en E’.

¹⁵⁹ Ibid., Proposition vingt-et-unième, 337–8.

¹⁶⁰ Un raisonnement semblable mène Galilée de l’équilibre d'un corps G posé sur un plan incliné FA de hauteur FC et retenu par un corps H suspendu verticalement le long de FC au ‘moment de descente : ‘possiamo assertivamente affirmare, che quando debba seguire l'equilibrio, cioè la quiete tra essi mobili, i momenti, le velocità, o le lor propensioni al moto, cioè gli spazii che da loro si passerebbero nel medesimo tempo, devon rispondere reciprocamente alle loro gravità, secondo quello che in tutti i casi de'movimenti mecanici si dimonstra […] l'impeto o momento parziale del G per la perpendicolare FC, starà come il peso H al peso G, cioè, per la costruzione, come essa perpendicolare FC, elevazione dell'inclinata, alla medesima inclinata FA ‘. Cf. Galileo Galilei (note 97), 217.

¹⁶¹ C.-F. Milliet Dechales (note 143), Proposition vingt-deuxième, 340.

¹⁶² Cf. Galilée (note 97), 148.

¹⁶³ C.-F. Milliet Dechales (note 143), Proposition vingt-deuxième, 340.

¹⁶⁴ Ibid., Proposition vingt-troisième, 341.

¹⁶⁵ Les propriétés de chute de corps s’établissent à partir de l'idée que ‘la cause qui fait se mouvoir immediatement les corps pesans, quand ils tombent, s'augmente également’, que cette cause se rapporte au ressort de l'air ou au ‘mouvement pris pour un estre permanent’, ou aux ‘percussions réitérées’ (ibid., Proposition treizième, 209). Concernant l'action du ‘ressort de l'air’, la pesanteur produit dans un premier temps un mouvement déterminé ‘par lequel l'air ayant esté condensé & mis en ressort, peut continuër le mesme mouvement, produisant sans un second temps un mouvement égal, mais la pesanteur estant presente, pourra produire autant de mouvement dans ce second temps’; ressort et pesanteur produisent alors dans ce second temps ‘un mouvement double du premier’ et donc ‘un double ressort’, dont il faut à nouveau associer l'effet à la pesanteur pour produire dans un troisième temps un mouvement triple du premier. Ibid., Proposition dixième, 193–4. Les vitesses alors augmentent ‘uniformement, & également’, ibid., Proposition dixième, 197.

¹⁶⁶ P. Varignon (note 70), 9–10.

¹⁶⁷ Voulant établir que la force d'un corps en mouvement se mesure par sa quantité de mouvement et non sa force vive, Louville utilise ‘le principe des mouvemens composez qui est la clef de toutes les Méchaniques’. Il imagine trois boules (A, B, C) de même masse heurtant simultanément une boule D au repos, leurs lignes de directions formant deux à deux un angle de 120° et passant par le centre de D. D ‘étant également poussé de toutes parts’, les ‘trois puissances’ font des ‘efforts’ et s’équilibrent. Cf. Jacques d'Allonville de Louville, ‘Démonstration d'un principe de Mechanique, qui est que la force des Corps en mouvemens, sont entre elles en raison composée de leur masses et de leurs vitesses, ou comme les produits de leurs masses par leurs vitesses’, dans Registres des Procès Verbaux de l'Académie Royale des Sciences, année 1721, tome 40, f° 43v–f°44v.

¹⁶⁸ Mairan note que ‘la simple tendance & le mouvement actuel peuvent être comparés dans leurs compositions & leurs décompositions […] & en ce que l'analogie des forces en équilibre, ou en action, est la même de part & d'autre’. Trois ‘puissances’ tirant ou poussant un point P se voient alors remplacées par trois ‘mobiles’ heurtant simultanément P. Cf. J.-J. Dortous de Mairan, ‘Dissertation sur l'estimation & la mesure des forces motrices des corps’, dans Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Année MDCCXXVIII. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique, pour la même année. Tirés des Registres de cette Académie (Paris, 1753), 39. L’ ‘analogie’ tient à cette identité de composition/décomposition affectant les corps mobiles ou les puissances statiques, mais elle repose aussi sur une identité d'action : la tendance, l'instantanéité, constitue le véritable moment de l’évaluation de la force motrice pour Mairan et, conséquemment, que les actions durent (puissances statiques équilibrées) ou n'existent que dans l'instant (collision de corps durs) le modèle du choc de corps durs fournit le moyen de définir l'action en toute généralité; seul l'instant et, corrélativement, la tendance, comptent dans l’évaluation de la force motrice. Ainsi, la ‘réduction’ du mouvement accéléré en uniforme (un corps parcourt uniformément le double de l'espace qu'il aurait franchit dans le même temps sous l'effet de la gravité, avec pour vitesse celle acquise en fin de cette chute) ‘ne peut rien changer à la quantité de force qui réside dans un corps à l'instant où il va se mouvoir, quel que doive être ce mouvement, retardé ou uniforme. Car en imaginant la force motrice toûjours la même, il ne s'agit, pour rendre uniforme le mouvement qu'elle alloit produire, ou que l'on considere dans cet instant, que d’ôter les résistances, les impulsions de la pesanteur, par exemple, ou les obstacles quelconques, qui pouvoient l'arrêter sur son chemin, ou la consumer peu à peu […] Ce qui est tout à fait étranger à la force que l'on cherche à connoître, & ne sçauroit par conséquent rien ôter ni ajoûter à la mesure de sa quantité considérée en elle-même’, ibid., 11. Dès lors, ‘la communication [du mouvement] dans les corps flexibles & à ressort ne nous fera plus […] conclure une autre valeur pour cette force [motrice] que dans les corps inflexibles & sans ressort’, ibid., 36.

¹⁶⁹ J.-F. Trabaud (note 94), art. 182 et 183, 70–1. La puissance se définit comme ‘tout ce qui peut mouvoir un corps’ et, à ce titre, ‘un corps en mouvement est une puissance’ (ibid., art. 104, 38). La ‘force d'une puissance est l'action qu'elle exerce ou l'effort qu'elle fait pour mouvoir, on la prend fort souvent pour la puissance même’ (ibid., art. 105, 38). Appliquée à un corps, la puissance ‘produit le mouvement par une seule impulsion’ ou bien ‘elle renouvelle son action’: dans le premier cas, le ‘mouvement est uniforme’ et ‘la puissance est appelée simplement motrice ou force instantanée’; dans le second, elle est ‘force accélératrice’ et, cette dernière, considérée dans l'instant, s'identifie à la première (ibid., art. 108, 38).

¹⁷⁰ Marquise du Châtelet (note 98), § 519, p. 422. Forces dénommées aussi ‘forces pressantes’ exemplifiées par l'action d'un poids sur une table ou celle d'un ressort comprimé (ibid., § 522, 422–3) et dont l'action ‘est à tout moment reproduite’ (ibid., § 527, 424).

¹⁷¹ Ibid., § 537, 429. Pour un corps au repos équilibrant une ‘puissance’, la mesure de sa force consiste en le produit de sa masse par cette vitesse élémentaire nommée aussi ‘vitesse initiale’ à savoir celle qu'il possède ‘si cette puissance, qui [le] retient, venoit à faire quelque mouvement’, ibid. La comparaison de deux puissances repose sur celle de leurs actions sur des masses qu'elles ‘poussent avec un incrément de vitesse’ (ibid., § 540, 428) et ‘dans l’équilibre des puissances, les forces mortes sont en raison composée des masses, & de leur vitesse virtuelle’ (ibid., § 547, 430).

¹⁷² En vertu du ‘principe de la continuité’ de Leibniz (§ 15 p. 35–6), tous ‘les Corps ont un degré d’élasticité’.

¹⁷³ P. Varignon (note 70), II, 174.

¹⁷⁴ Ibid., 175.

¹⁷⁵ Jean Bernoulli, ‘Discours sur les loix de la communication du mouvement, qui a mérité les Eloges de l'Académie Royale des Sciences aux années 1724. & 1726. & qui a concouru à l'occasion des Prix distribuez dans lesdites années’, dans Recueil des pieces qui ont remporté les prix de l'Academie Royale des Sciences, depuis leurs fondation jusqu’à présent. Avec quelques pieces qui ont été composées à l'occasion de ces Prix. Tome premier. Qui contient les Pieces depuis 1720 jusqu'en 1727 (Paris, 1732), 19: ‘j'appelle vîtesses virtuelles, celles que deux ou plusieurs forces acquierent, quand on leur imprime un petit mouvement; ou si ces forces sont déja en mouvement’.

¹⁷⁶ Ibid., 19.

¹⁷⁷ Ibid., 19. Un ressort placé entre deux masses fixes agit sous la forme d'une ‘force morte’, mais en l'absence de fixité, le ressort agit et ‘en se dilatant accelere la vîtesse de ces corps’.

¹⁷⁸ Ibid., 20.

¹⁷⁹ Ibid. Voir aussi Isaac Newton, Principes mathématiques de la philosophie naturelle, 2 vol. (Paris, 1759 (trad. de la 3^ème éd. par la Marquise du Châtelet)), Scholie, 33: ‘de même que les corps qui se choquent se font équilibre, quand leurs vîtesses sont réciproquement comme leurs forces d'inertie (ut vires insitae:) les puissances qui agissent dans la méchanique se contrebalancent & détruisent leurs efforts mutuels quand leurs vîtesses dans la direction des forces sont réciproquement comme ces forces’.

¹⁸⁰ Cette substitution des poids par les masses dans des principes statiques figure aussi chez P. Varignon, ‘Regles du mouvement en général’, 31 décembre 1692, dans Mémoires de l'Académie Royale des Sciences depuis 1666 jusqu’à 1699, tome X (Paris, 1730), 227: les ‘forces’ (ce que Descartes nommait l’ ‘action’, cf. supra note 145) deviennent proportionnelles aux mouvements produits. Varignon puise chez Galilée un concept de moment conçu comme un ‘effort’ de la pesanteur proportionnée à la quantité de mouvement créée : il note qu’ ‘il est démontré dans toutes les statique (sic) que les premiers efforts (momenta) des poids M & N suivant la direction des plans f & h, sur lesquels on les suppose, sont ak/f & bl/h [f, h représentent les longueurs et k, l les hauteurs des plans, a et b les pesanteurs de M et N lors d'une chute libre] & que c'est tout ce qui leur reste de leur pesanteur, la résistance de ces plans soutenant le surplus. On peut donc regarder ici ces corps comme sans pesanteur, & comme poussez seulement le long de ces plans par des forces’, cf. P. Varignon, ‘Application de la regle generale des mouvemens accelerez à toutes les hypothèses possibles d'accélérations ordonnées dans la chute des corps’, 30 juin 1693, dans Mémoires de l'Académie Royale des Sciences depuis 1666 jusqu’à 1699, tome X (Paris, 1730), 355–6. L'effort/moment de la pesanteur appartient à une classe plus générale (la force) poussant un corps, soit une masse, et les forces mentionnées dans la dernière phrase ci-dessus se voient proportionnées aux vitesses produites, ‘puisque dans chaque corps les forces sont à chaque instant comme les vîtesses qu'elles causent’ (voir P. Varignon, ‘Regles des mouvemens accelerez suivant toutes les proportions imaginables d'accélérations ordonnées’, 31 mai 1693, dans Mémoires de l'Académie Royale des Sciences depuis 1666 jusqu’à 1699, tome X (Paris, 1730), 340). Les principes statiques permettent ici à Varignon de conférer à la force sa dimension dynamique en la proportionnant à la quantité de mouvement créée.

¹⁸¹ Antoine Parent, Essais et recherches de mathematique et physique, 3 vol. (Paris, 1713), II, 361–4.

¹⁸² Ibid., 365.

¹⁸³ Ibid., 366.

¹⁸⁴ Régis nomme les mouvements ‘Mechaniques, [ceux] qui regardent la pesanteur respective des corps, & qui diffèrent des mouvemens naturels, en ce que ceux-ci sont indépendans les uns des autres, ou s'ils en dépendent, ils ne sont pas opposez comme font les mouvemens méchaniques; ce qu'il faut bien remarquer pour éviter de tomber dans l'erreur où sont ceux qui confondent ces mouvemens, & qui disent que quand des corps égaux se choquent avec des forces égales & opposées, ils doivent demeurer en équilibre, c'est à dire, en repos, car c'est proprement abuser du mot d’Equilibre, qui est à la verité un repos, mais un repos purement respectif’. Cf. Pierre-Sylvain Régis, Cours Entier de Philosophie, ou Système Général selon les Principes de M. Descartes, contenant la Logique, la Métaphysique, la Physique, et la Morale, 3 vol. (Amsterdam, 1691), I, Dix-septième règle, 386.

¹⁸⁵ J. Le Rond D'Alembert (note 6), 874b.

¹⁸⁶ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, xxv.

¹⁸⁷ Ibid., Préface, xxiij.

¹⁸⁸ Ibid., Préface, xvj.

¹⁸⁹ Ibid., Préface, xiv. Cf. aussi J. Le Rond D'Alembert (note 6), 873a.

¹⁹⁰ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 43, 43. Cf. aussi J. Le Rond D'Alembert (note 6), 873a–3b: ‘Aussi n'avons nous presque aucun ouvrage de Méchanique, où la proposition dont il s'agit soit prouvée avec l'exactitude qu'elle exige. La plûpart se contentent de dire que la force d'un corps est le produit de sa masse par sa vîtesse, & que quand ces produits sont égaux, il doit y avoir équilibre, parce que les forces sont égales; ces auteurs ne prennent pas garde que le mot de force ne présente à l'esprit aucune idée nette, & que les Méchaniciens même sont si peu d'accord là-dessus, que plusieurs prétendent que la force est le produit de la masse par le quarré de la vîtesse’.

¹⁹¹ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 172, 183.

¹⁹² A. Parent, Elémens de Méchanique et de Physique, où l'on donne géométriquement les principes du choc & des équilibres entre toute sorte de corps. Avec l'explication naturelle des machines fondamentales (Paris, 1700), Préface (non paginée).

¹⁹³ Concernant sa méthode, Parent croit au moment de l’édition de ce livre ‘que ce fût une chose tout à-fait nouvelle’. Or, il recourt à la méthode du bateau de Huygens et si les œuvres posthumes de celui-ci ne paraissent qu'en 1703 (Christiani Hugenii Opuscula Posthuma (Leyde, 1703)), J. Wallis ((note 156), III, Proposition VIII à Proposition XIV, 669–76 pour des corps durs), C.-F. Milliet Dechales (voir supra) et Mariotte pour la seule étude des collisions obliques (voir, notamment, E. Mariotte (note 132), Proposition I, 179–85), en firent déjà usage. Ce qu’évoque Parent quelques pages plus loin en ajoutant que ‘le peu de progrez qu'on a fait jusqu'icy dans la connoissance du choc, me pourroit faire croire que la maniere d'en faire application n'a pas encore été connuë puisqu'encore aujourd'huy plusieurs Auteurs celebres ont leurs principes particuliers, & sont si peu d'accord entr'eux’, A. Parent (note 192), Préface.

¹⁹⁴ Jean I Bernoulli (note 175), 24–7.

¹⁹⁵ Parent (note 192), 40.

¹⁹⁶ Parent ne définit pas le concept de masse, mais utilise cette grandeur dans son évaluation de la force/quantité de mouvement: ‘on ne doit […] avoir égard qu’à la masse & à la vitesse des corps pour estimer leur force’, ibid., 12.

¹⁹⁷ Ibid., 59.

¹⁹⁸ Ibid., 19. Pour l’égalité des ‘forces’ ou ‘momens’ lors de l’équilibre, ibid., 15–6.

¹⁹⁹ Ibid., 40–1.

²⁰⁰ Ibid., 40–2. Une variante consiste à laisser ce plan immobile et mouvoir celui supportant les deux corps avec une vitesse DC ou dC.

²⁰¹ Pour les chocs de deux corps ‘à ressort parfait’, ibid., 58–65.

²⁰² Parent (note 181), II, 760. L'expérience justifie ce premier point, montrant ‘les corps mous, omogenes & de même figure qui se rencontrent de quelque maniere que ce soit, sont également aplatis par le choq’; elle valide le second, car ‘quand un ressort mis entre deux corps vient à se bander, il les écarte en leur donnant des vitesses réciproques à leurs masses, c'est-à-dire, des forces égales’, ibid.

²⁰³ Ibid., 762–3. Voir le tableau précédent pour les décompositions.

²⁰⁴ Ibid., 764.

²⁰⁵ Mariotte propose une technique comparable à celle de Parent. Que deux boules A et B (voir Figure 8) se heurtent en D avec pour vitesses AD et BD, ou entre en collision en C, centre de gravité, avec des vitesses AC et BC, la vitesse respective demeure identique et, dans les deux cas, les mobiles subissent une même compression. Puisque, lors du choc en C, les vitesses de rebond suivent la proportion inverse des poids, cette proportion vaut aussi pour tous types de collisions. Mariotte donne alors une méthode géométrique de construction des vitesses finales illustrée ici dans le seul cas de mouvements initiaux de sens opposés. Soient A, B, deux corps parfaitement élastiques de vitesses AD, BD; C le centre de gravité; CD = CE. Après le choc, EA et EB représenteront les vitesses de A et B.

Sans ‘ressorts’, les corps iraient avec la vitesse commune CD. Or, les vitesses de rejaillissements sont CA et CB. Ajouter CD ou EC à cette dernière donne une vitesse finale EB pour B; soustraire cette quantité à CA donne EA pour A. Cf E. Mariotte (note 132), Proposition XV, 96–7 et Proposition XIX, 115–22.

²⁰⁶ J. Le Rond D'Alembert (note 1), 52.

²⁰⁷ D'Alembert note que le ‘centre de gravité devroit plutôt […] s'appeler centre de masses’, expression qu'il attribue à ‘M. Daniel Bernoulli ; Traité du flux & reflux, Chap. I’, tout en précisant conserver le premier terme pour se ‘conformer à l'usage reçû’. Ibid., art. 51, 53.

²⁰⁸ Ibid., art. 64, 63.

²⁰⁹ Ibid. D'Alembert établit cette proposition cinématique dans le Lemme IV, lui-même reposant sur les trois précédents. Le premier Lemme détermine le mouvement du centre de masse pour des corps animés de mouvements rectilignes uniformes parallèles entre eux (ibid., art. 53, 54). Dans le second, D'Alembert décompose les mouvements uniformes de directions quelconques des corps en composantes parallèles (respectivement, pour simplifier, selon des directions horizontales et verticales) dont les résultantes donnent le mouvement du centre selon chaque direction ; composées, le mouvement du centre s'ensuit (ibid., art. 54, 55–6). Le Lemme III énonce la conservation du mouvement du centre lors un déplacement global du système n'affectant ni les directions ni les vitesses des corps (ibid., art. 56, 56–7). Enfin, le Lemme IV généralise le second en ne supposant plus des décompositions parallèles entre elles (ibid., art. 57, 57–8).

²¹⁰ A contrario, des forces de directions quelconques dont la résultante non nulle passe par le point d'appui équilibrent une balance.

²¹¹ J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 64, 63. D'Alembert fait appel au Lemme V. Dans ce dernier, des corps A, B, C etc. joints ensemble forment un système sans point fixe et se voient imprimer les vitesses M, N, P etc. tels ‘qu'en vertu de ces Mouvemens ils soient en équilibre’; D'Alembert montre que si ces corps suivent librement M, N, P etc. le centre de gravité demeure au repos. En décomposant M(m, m’), N(n, n’), Q(q, q’) etc. avec m, n, q etc. parallèles entre elles et à une direction K et m’, n’, q’ etc. parallèles entre elles et à une direction Q, la vitesse du centre de gravité sera, suivant K, (1) et, suivant Q, (2). La condition d’équilibre impose, en l'absence de point fixe, que A.M + B.N + C.Q etc.=0, ce qui donne deux équations obtenues pour les composantes selon K et Q ; celles-ci revenant à égaler les numérateurs de (1) et (2) à zéro, il s'ensuit que le centre de gravité reste au repos. Ibid., art. 60, 58–60.

²¹² Ibid., art. 64, 63.

²¹³ Ibid., art. 136, 144.

²¹⁴ Ibid.

²¹⁵ Ibid., art. 137, 144.

²¹⁶ Ibid. Dans la seconde édition de 1758 de son livre, D'Alembert ajoute ‘(dans le cas où ils seront élastiques)’ immédiatement après ‘les vitesses de ces mêmes corps après le choc’. Cf. J. Le Rond D'Alembert, Traité de dynamique (Paris, 1758), art. 168, 218.

²¹⁷ Dans l'article ‘Percussion’, D'Alembert détaille les règles de collisions élastiques. Cf. Jean Le Rond D'Alembert (note 7), 333b–4a.

²¹⁸ L'usage d'un principe de relativité apparaît, notamment, dans la démonstration du théorème du ‘Mouvement composé’. Cf. J. Le Rond D'Alembert (note 1), art. 21, 22–4.

²¹⁹ Le ‘Theorême I’ conduit, d'une part, à formuler que ‘le chemin du centre de gravité est zéro’ et, d'autre part, à affirmer que l'action mutuelle des corps ne modifie pas son mouvement.

²²⁰ J. Le Rond D'Alembert (note 1), Préface, iv.

²²¹ Notamment dans des manuels. Les Leçons de phisique de Privat de Molières portent pour sous titre ‘Expliquées au Collége Royal de France’ et son auteur prétend y ‘démontrer les Elémens de la Phisique’ en précisant que ‘ces Leçons n'ont été composées que pour instruire les Commençans’. Cf. J. Privat de Molières (note 92), xij et xiv. J.-F. Trabaud écrit que le ‘but’ de son ouvrage ‘n'est pas de traiter les matieres à fond, ni de dire tout, mais d'assembler des véritez qui soient comme fondamentales, d’établir des principes, de les déduire avec clarté, & de les mettre dans un ordre qui soit à la portée des Commençans’, à savoir des ‘Ecoliers qui font leur Physique dans les Colleges’, cf. J.-F. Trabaud (note 94), vi–vii. Ainsi la séquence de rédaction associant des compositions/décompositions de forces, la collision oblique de corps durs, le mouvement sur des plans contigus ressortit aux ‘Eléments’ de mécanique.

²²² Firode (note 26), 132.

²²³ Ibid.

²²⁴ J. Le Rond D'Alembert (note 1), 1

²²⁵ Ibid., Préface, iv.

²²⁶ Véronique Le Ru, Jean Le Rond D'Alembert philosophe (Paris, 1994), 31.

²²⁷ Il ne s'agit pas de prétendre que les auteurs évoqués utilisent le concept de travail : nous utilisons ce terme simplement pour signifier que les grandeurs physiques correspondent d'un point de vue dimensionnel à ce concept.

²²⁸ Sans toutefois que ce principe se réduise à celui des vitesses virtuelles, cf. 1.1 Le principe et ses énoncés.