From Euclid as Textbook to the Giovanni Gentile Reform (1867–1923): Problems, Methods and Debates in Mathematics Teaching in Italy

Abstract

The earliest legislation aimed to give comprehensive organization to the Italian education system was the Casati law, from the name of the then Minister for Education Gabrio Casati who drafted it. Promulgated by King Vittorio Emanuele II on 13 November 1859, the new law was designed to reorganize the school system in Piedmont and Lombardy, and was gradually and with difficulty extended to the other Italian regions. All legislation regarding education in Italy had been based on this law until 1923, when Giovanni Gentile, a prominent figure among Italian Idealist philosophers, introduced the reform that brought important changes to the school system, while maintaining various key features. To give a comprehensive view of the history of the teaching of mathematics in secondary schools in Italy over this 60‐year period, we must look beyond the legislative, political and social factors, however important these undoubtedly are, to examine other factors not comprehensively studied as yet. On the one hand, we need to consider the role of mathematicians involved in advanced research; on the other hand, the role played by many different factors: secondary school teachers and their associations; the textbooks; journals concerning the teaching of mathematics; publishers’ initiatives; conferences on teaching methods and practices; debates on methodology; international influences; teacher training. The purpose of this article is to give a general overview of the period, while describing in detail certain decisive moments, in order to show clearly the effects some decisions had, the debates they gave rise to, as well as the work carried out and the methodological approaches adopted by the mathematicians involved.

Notes

¹ I am indebted to Gert Schubring for having invited me to contribute to the present special issue and for his suggestions. I am very grateful to Lucia Ciarrapico and to Giacomo Michelacci for their help in finding some archival sources. I also want to express my gratitude to Emma Castelnuovo for her help and to Paolo Freguglia for his support in organizing the workshops on this subject at the Domus Galilaeana in Pisa.

² Cf. Ulivi, Elisabetta. “Sull’insegnamento scientifico nella scuola secondaria dalla legge Casati alla riforma Gentile: la sezione fisico‐matematica.” Archimede 4 (1978): 166–82. For an overview of the legislative measures concerning the teaching of mathematics in secondary schools, cf. Vita, Vincenzo. I programmi di matematica per le scuole secondarie dall’unità d’Italia al 1986. Rilettura storico‐critica. Bologna: Pitagora, 1986.

⁴ Cf. “Istruzioni e programmi per l’insegnamento della matematica nei ginnasi e nei licei.” Supplemento alla Gazzetta Ufficiale del Regno d’Italia, Firenze, 24 October 1867.

³ The text of this Act can be viewed on the website (http://www.dm.unito.it/mathesis/documents.html) together with the most significant legislative measures regarding the teaching of mathematics in the Italian secondary school from 1867 to 1923.

⁵ Cf. “Geometria.” Ibid.

⁶ Cf. “Aritmetica ragionata e algebra.” Ibid.

⁷ Cf., for example, Gatto, Romano. “Lettere di Luigi Cremona a Enrico Betti (1860–1890).” In La corrispondenza di Luigi Cremona (1830–1903), edited by M. Menghini. Milano: Quaderni PRISTEM 9 (1996): 7–90.

⁸ Brioschi, Francesco, and Luigi Cremona. “Al signor Direttore del Giornale di matematiche ad uso degli studenti delle Università italiane.” Giornale di Matematiche 7 (1869): 51–54. An extract of this letter was translated into French by J. Hoüel and published in Nouvelles Annales de Mathématiques 2, no. 8 (1869): 278–83.

⁹ Cf. Schubring, Gert. “Neues über Legendre in Italien.” In Mathematik im Fluß der Zeit, edited by W. Hein, and P. Ullrich. Algorismus 44 (2004): 256–74.

¹⁰ Wilson, J. M. “Euclid as a Textbook of Elementary Geometry.” Educational Times (1868): 125–28. Translated by R. Rubini under the title “Euclide come testo di geometria elementare.” Giornale di matematiche 6 (1868): 361–8.

¹¹ Brioschi, Francesco, and Luigi Cremona. “Al signor Direttore del Giornale di matematiche ad uso degli studenti delle Università italiane.” Giornale di Matematiche 7 (1869): 53.

¹² Cf., for example, the letters of Hoüel to Genocchi in Fenoglio, Lorenza, and Livia Giacardi. “La polemica Genocchi‐Beltrami sulle superficie pseudosferiche: una tappa nella storia del concetto di superficie.” In Angelo Genocchi e i suoi interlocutori scientifici. Contributi dall’epistolario, edited by A. Conte, and L. Giacardi. Torino: Deputazione subalpina di storia patria, 1991: 155–209; Giacardi, Livia. “La corrispondenza fra Jules Hoüel e Luigi Cremona (1867–1878).” In La corrispondenza di Luigi Cremona (1830–1903), edited by A. Millan Gasca. Vol. I. Quaderno della Rivista di Storia della Scienza, no. 24, Università di Roma “La Sapienza” (1992): 77–88; Calleri, Paola, and Livia Giacardi. “Le lettere di Giuseppe Battaglini a Jules Hoüel (1867–1878). La diffusione delle geometrie non euclidee in Italia.” Rivista di Storia della Scienza 2 (3.1) (1995): 127–209; Giacardi, Livia. “Scientific research and teaching problems in Beltrami’s letters to Hoüel.” In Using History to Teach Mathematics: an International Perspective, edited by V. Katz. Washington, DC: Mathematical Association of America, 2000: 213–23; cf. also the letters of G. Bellavitis and A. Forti to J. Hoüel, Paris, Archives, Académie des Sciences, Correspondance adressée à J. Hoüel.

¹³ Cremona, Luigi. “Considerazioni di storia della geometria, in occasione di un libro di geometria elementare pubblicato a Firenze.” (1860). In Opere matematiche. Milano: Hoepli. Vol. I (1914): 176–207.

¹⁴ Cf. Di Sieno, Simonetta. “Cremona e la formazione tecnica preuniversitaria nella seconda metà dell’Ottocento.” In Conferenze e seminari, 2004–2005. Torino: Associazione Subalpina Mathesis, 2005: 57–68.

¹⁵ For further details on the Coppino Act and the heated debate it provoked, cf. Giacardi, Livia. “Gli ‘Elementi’ di Euclide come libro di testo. Il dibattito di metà Ottocento in Italia.” In Conferenze e seminari, 1994–1995. Torino: Associazione Subalpina Mathesis, 1995: 175–88 and Schubring, Gert. Analysis of Historical Textbooks in Mathematics. Rio de Janeiro: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Matemática, 1997: 81–90.

¹⁶ Sannia, Achille, and Enrico D’Ovidio. Elementi di Geometria. Napoli: Pellerano, 1895: V.

¹⁷ Cf. Furinghetti, Fulvia, and Annamaria Somaglia. “Giornalismo matematico ‘a carattere elementare’ nella seconda metà dell’Ottocento.” L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate 15 (1992): 816–52.

¹⁸ Cf. Maraschini, Walter, and Marta Menghini. “Il metodo euclideo nell’insegnamento della geometria.” L’educazione matematica 3 (1992): 161–81; Mammana, Carmelo. “I Grundlagen der Geometrie e i libri di testo di geometria in Italia.” Le Matematiche 55 (2000, Supplemento 1): 225–51; Mammana, Carmelo, and Rossana Tazzioli. “The Mathematical School in Catania at the beginning of the 20th century and its influence on didactics.” In Proceedings. Histoire et épistémologie dans l’éducation mathématique. Louvain: Univérsité Catholique, 2001: 223–32; Giacardi, Livia. “I manuali per l’insegnamento della geometria elementare in Italia fra 800 e 900.” In TESEO, Tipografi e editori scolastico‐educativi dell’Ottocento, edited by G. Chiosso. Milano: Editrice Bibliografica, 2003: XCVII–CXXIII.

¹⁹ Sannia, Achille, and D’Ovidio Enrico. Elementi di Geometria, Napoli: Stab. Tip. delle Belle Arti, 1868–69 (II ed. 1871, III 1876, IX 1895), cf. the review of J. Hoüel. “Revue bibliographique.” Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques 1 (1870): 329–30.

²⁰ Cf. Duhamel, Jean‐M.‐C. Des méthodes dans les sciences de raisonnement. Paris: Gauthier‐Villars, 1878. Vol. II. Note sur l’équivalence: 445–50.

²¹ De Paolis, Riccardo. Elementi di geometria. Torino: Loescher 1884, cf. Candido, Giacomo. “Sur la fusion de la planimétrie et de la stéréométrie dans l’enseignement de la géométrie élémentaire en Italie.” L’Enseignement mathématique a. I (1899): 204–15, in particular 206.

²² De Franchis, Michele. Geometria elementare ad uso dei Licei e dei Ginnasi superiori. Milano–Palermo–Napoli: Remo Sandron, 1909.

²³ Enriques, Federigo, and Ugo Amaldi. Elementi di geometria, ad uso delle scuole secondarie superiori. Bologna: Zanichelli, 1903; Elementi di geometria elementare ad uso dei ginnasi superiori. Bologna: Zanichelli, 1904, textbooks republished several times.

²⁴ Cf. Schubring, Gert. “Pure and Applied Mathematics in Divergent Institutional Settings in Germany: the Role and Impact of Felix Klein.” In The History of Modern Mathematics, edited by D. Rowe and J. McCleary. London: Academic Press, 1989. Vol. II: 171–220; Gario, Paola. “Quali corsi per la formazione del docente di matematica? L’opera di Klein e la sua influenza in Italia.” Bollettino della Unione Matematica Italiana, Sez. A, s. 8, IX‐A (2006): 131–41.

²⁵ Enriques, Federigo. “Sull’insegnamento della geometria razionale.” In Questioni riguardanti le matematiche elementari. Bologna: Zanichelli, 1912. Vol. I: 24.

²⁶ Cf. Gavagna, Veronica. “Cesare Arzelà e l’insegnamento della matematica.” Bollettino di storia delle scienze matematiche XII, no. 2 (1992): 251–77.

²⁷ Cf. Nastasi, Pietro. “La Mathesis e il problema della formazione degli insegnanti.” In La Mathesis, PRISTEM/STORIA 5, Milano: Springer‐Verlag Italia, 2002: 59–119; Giacardi, Livia. “Educare alla scoperta. Le lezioni di Corrado Segre alla Scuola di Magistero.” Bollettino della Unione Matematica Italiana s. VIII, VI‐A (2003): 141–64.

²⁸ Rodolfo Bettazzi was president of the Mathesis Society from 1896 to 1900 and from 1902 to 1904, Francesco Severi was president from 1909 to 1910, Guido Castelnuovo from 1911 to 1914, Federigo Enriques from 1919 to 1946.

²⁹ Cf., for example, Scarpis, Umberto. “L’insegnamento della matematica nelle Scuole classiche, I. I successivi programmi dal 1867 al 1910.” In Atti della Sottocommissione italiana per l’insegnamento matematico. Bollettino della Mathesis III (1911): 25–33; Scorza, Gaetano. “L’insegnamento della matematica nelle Scuole e negli Istituti tecnici.” Ibid., 49–80.

³⁰ Cf., for example, Ministero della Pubblica Istruzione, Bollettino Ufficiale VIII (May 1882): 375–98 and IX (April 1883): 264–84.

³¹ Cf. “Esame comparativo dei programmi nelle scuole secondarie classiche.” Bollettino Ufficiale dell’Istruzione XIII (October 1887): 193–241. Valentino Cerruti, professor of Mechanics at the University of Rome, was the president of the Commission.

³² “Programmi di matematica per i ginnasi ed i licei.” Bollettino Ufficiale del Ministero dell’Istruzione Pubblica XXXI, II, no. 52, Roma 29 December 1904: 2851.

³³ Cf. in this regard the wide debate on this matter during the Congress of the Associazione Mathesis held in Milan in 1905 on 21–22 April, in Bollettino della Mathesis (1905): 37–91.

³⁴ Cf. Belhoste, B., H. Gispert, and N. Hulin. Les sciences au lycée. Un siècle de réformes des mathématiques et de la physique en France et à l’étranger. Paris: Vuibert, 1996, in particular the articles of B. Belhoste, M. Artigue and G. Schubring.

³⁵ Cf. Bollettino della Mathesis 1905–1906, 1907–1908.

³⁶ Vailati, Giovanni. Review of C. Laisant, La Mathématique: philosophie, enseignement. In Giovanni Vailati, Scritti, edited by M. Quaranta. Bologna: Forni, 1987. Vol. III: 261.

³⁷ Vailati, Giovanni. “Idee pedagogiche di H. G. Wells.” (1906). In ibid., 292.

³⁸ Vailati, Giovanni. Review of Maria Begey, Del lavoro manuale educativo. In ibid., 265.

³⁹ Vailati, Giovanni. “Sugli attuali programmi per l’insegnamento della matematica nelle scuole secondarie italiane.” In Atti del IV Congresso Internazionale dei matematici, 6–11 aprile 1908. Roma: Tip. Accademia dei Lincei, 1909: 485.

⁴⁰ Vailati, Giovanni. “Sull’importanza delle ricerche relative alla Storia delle Scienze.” In Giovanni Vailati, Scritti. Vol. II: 10.

⁴¹ Vailati, Giovanni. “L’insegnamento della Matematica nel nuovo ginnasio riformato e nei tre tipi di licei.” Il Bollettino di Matematica IX (1910): 57.

⁴² Galletti, Alfredo, and Gaetano Salvemini. La riforma della scuola media. Notizie, osservazioni e proposte. Milano: Remo Sandron, 1908: 66.

⁴³ Vailati, Giovanni. (1907) “L’insegnamento della Matematica nel primo triennio della Scuola secondaria.” In Giovanni Vailati, Scritti. Vol. III: 302–06.

⁴⁴ Giacardi, Livia. “Matematica e humanitas scientifica. Il progetto di rinnovamento della scuola di Giovanni Vailati.” Bollettino della Unione Matematica Italiana 3‐A (1999): 339–41.

⁴⁵ Levi, Beppo. “Esperienza e intuizione in rapporto alla propedeutica matematica. Lettera aperta al prof. Giovanni Vailati.” Il Bollettino di Matematica VI (1907): 177–86.

⁴⁶ Berzolari, L., E. Bortolotti, R. Bonola and E. Veneroni. “Relazione sul tema: I programmi di matematica per la Scuola Media riformata.” In Atti del I Congresso della Mathesis Società Italiana di Matematica, Firenze 16–23 Ottobre 1908. Padua: Premiata Società Cooperativa Tipografica: 26–33.

⁴⁷ Smith, David Eugene. “Intuition and experiment in mathematical teaching in the secondary schools.” L’Enseignement mathématique 14 (1912): 507–34, partially translated by G. Castelnuovo in Bollettino della Mathesis (1912): 134–9.

⁴⁹ Castelnuovo, Guido. “Discours de M.G. Castelnuovo.” In Compte Rendu de la Conférence internationale de l’enseignement mathématique, Paris, 1–4 avril 1914. L’Enseignement mathématique 16 (1914): 191.

⁴⁸ Cf. Castelnuovo, Guido. “I programmi di matematica proposti per il liceo moderno.” Bollettino della Mathesis V (1913): 86–94 and “Istruzioni per lo svolgimento del programma di matematica del Liceo moderno.” Bollettino ufficiale del Ministero della Pubblica Istruzione XL, 45 (30 October 1913): 2759–2804. Cf. also Castelnuovo’s report on liceo moderno during the CIEM Congress held in Paris in 1914 (L’Enseignement mathématique 16 (1914): 295) and Loria, Gino. “Les Gymnases‐lycées Modernes en Italie.” Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen begründet 1869 von J.C.V. Hoffmann 45 (1914): 188–93.

⁵¹ Castelnuovo, Guido. “Sui lavori della Commissione Internazionale pel Congresso di Cambridge. Relazione del prof. G. Castelnuovo della R. Università di Roma.” In Atti del II Congresso della Mathesis Società italiana di matematica. Padova: Premiata Società Cooperativa Tipografica, 1909, Allegato F: 4.

⁵⁰ Cf. “Istruzioni per lo svolgimento del programma di matematica del Liceo moderno.” Bollettino ufficiale del Ministero della Pubblica Istruzione XL, 45 (30 October 1913): 2761.

⁵³ Ibid., 336.

⁵² Castelnuovo, Guido. “Il valore didattico della matematica e della fisica.” Rivista di Scienza 1 (1907): 329–37.

⁵⁴ Castelnuovo, Guido. “Sui lavori della Commissione Internazionale pel Congresso di Cambridge”, 1909: 3.

⁵⁵ Castelnuovo, Guido. “La riforma dell’insegnamento matematico secondario nei riguardi dell’Italia.” Bollettino della Mathesis XI (1919): 5.

⁵⁶ Cf. for example the Mathesis inquiry, Bollettino della Mathesis VIII (1916): 94–96.

⁵⁷ Castelnuovo came into conflict with Catania about the secondary school textbooks for algebra based on mathematical logic: cf. Castelnuovo, Guido. “Risposta ad un’osservazione del Prof. Catania.” Bollettino della Mathesis V (1913): 119–20; Catania, Sebastiano. “Sui metodi di insegnamento della matematica nelle Scuole medie.” Bollettino della Mathesis V (1913): 142–43; Castelnuovo, Guido. “Osservazioni all’articolo precedente.” Ibid., 143–45.

⁶⁰ Bollettino della Mathesis XII (1920): 55.

⁵⁸ Cf. E. Beke’s report on the teaching of differential and integral calculus in secondary schools, L’Enseignement mathématique 16 (1914): 296–306.

⁵⁹ Cf. the transactions of the Congress of Trieste in Bollettino della Mathesis XII (1920): 1–62, in particular Cantoni, Arrigo. “Programmi e metodi dell’insegnamento nelle scuole delle terre redente e negli antichi confini d’Italia,” 8–17; Castelnuovo, Guido. “Sull’insegnamento medio delle matematiche in Italia dal 1867 ad oggi,” 17–21 and Furlani, Giacomo. “Rapporti fra la matematica e la fisica nell’insegnamento,” 22–31.

⁶¹ Cf. for example Furlani, Giacomo. “Relazione sull’insegnamento della matematica del prof Giacomo Furlani alla Sezione romana della Mathesis.” Bollettino della Mathesis XII (1920): 176–82; Verson, Adolfo. “Rapporto. Viaggio di studio compiuto a Bologna, per assistere a lezioni di matematica e fisica presso alcune Scuole Secondarie.” Periodico di matematiche s. 4, 1 (1921): 222–29 and Voghera, Guido. “Intorno ad un metodo di insegnamento della matematica in uso nelle scuole delle terre redente.” Periodico di matematiche s.4, 2 (1922): 475–78.

⁶⁴ Ibid., 16.

⁶² Enriques, Federigo. “Ai Lettori.” Periodico di matematiche s. 4, 1 (1921): 1–5.

⁶³ Enriques, Federigo. “Insegnamento dinamico.” Periodico di matematiche s. 4, 1 (1921): 6–16.

⁶⁵ Cf. Archivio di Stato, Roma, PCM 161–2.

⁶⁶ It is interesting to notice that religious instruction was part of the curriculum in Austria and Germany, whilst in Italy it was not (see Tables 1 and 2).

⁶⁷ The bases of the reform were established by the Royal Decrees no. 1679 (31.12.1922) and no. 1753 (16.7.1923) (school administrative system reform), no. 1054 (6.5.1923) (secondary school reform), no. 2102 (30.9.1923) (university reform), n. 2185 del 1.10.1923 (primary school reform), followed by other supplementary decrees. In this paper we intend merely to illustrate the influence exerted by Gentile’s reform on the teaching of mathematics rather than to make a comprehensive assessment of this reform. For a general commentary, cf., among others, Charnitzki, J. Fascismo e scuola. La politica scolastica del regime (1922–1943). Firenze: La Nuova Italia, 1996.

⁶⁹ Cf. “Riunione straordinaria promossa dal Consiglio direttivo. Roma, 11 febbraio 1923.” Periodico di matematiche s. 4, 3 (1923): 156.

⁶⁸ Cf. Guerraggio, Angelo, and Pietro Nastasi. Gentile e i matematici italiani. Lettere 1907–1943. Torino: Bollati Boringhieri, 1993; and Moretti, Mauro. “Insegnamento dinamico. Appunti sull’opera scolastica di Federigo Enriques (1900–1923).” In Federigo Enriques, Insegnamento dinamico. La Spezia: Agorà Edizioni, 2003: 15–91.

⁷⁰ Ibid., 156, 158.

⁷² Ibid., 341.

⁷¹ Enriques, Federigo. “Pro‐memoria del Consiglio direttivo.” Periodico di matematiche s. 4, 3 (1923): 340.

⁷³ Cf. “Relazione del Congresso di Livorno, 25–27 Settembre 1923.” Periodico di matematiche s. 4, 3 (1923): 454–78. In particular see papers on the reform by C. Rosati and G. Sansone.

⁷⁴ “Orari e programmi per le regie scuole medie.” Bollettino Ufficiale del Ministero dell’istruzione publica 50, II (17 November 1923): 4435.

⁷⁵ Nastasi, Pietro. “La Mathesis e il problema della formazione degli insegnanti”. In La Mathesis, La prima metà del Novecento nella Società Italiana di Scienze matematiche e fisiche. Note di Matematica, Storia, Cultura 5 (2002): 59–119; Gario, Paola. “Quali corsi per la formazione del docente di matematica? I congressi dei professori di matematica.” Bollettino della Unione Matematica Italiana, Sez. A, s. 8 (in press).

⁷⁷ Ibid., 10.

⁷⁶ Castelnuovo, Guido. Sopra i problemi dell’insegnamento superiore e medio a proposito delle attuali riforme. Roma: Tipografia della R. Accademia dei Lincei, 1923.