Sur les Relations de Dépendance Intégrale sur un Idéal

Abstract

Let (R, 𝔪, k) be a local noetherian ring and I an 𝔪-primary ideal. Let x be an element of R, integral over I. We discuss the degree of an equation of integral dependence of x over I. The asymptotic Samuel function (with respect to I) : R → ℝ_≥0 ∪ {+ ∞} is defined by , ∀ x ∈ R. We show how to compute for rings of equal characteristic using some polynomial canonically associated to I and x.

Key Words:

• Asymptotic Samuel function
• Integral closure of ideals
• Multiplicity

2010 Mathematics Subject Classification:

• Primary 13B22
• Secondary 13C15, 13F25

Notes

Ceci résulte aussi du théorème de préparation formel [6] puisque le morphisme A↪R est quasi-fini (car (x ₁,…, x _n )·R est 𝔪-primaire) et donc fini.

Une autre manière de prouver que B est un anneau de séries formelles modulo un idéal principal est de dire que B est intègre de dimension n puisque entier sur A, c'est donc un quotient de k[[X ₁,…, X _n+1]] par un idéal premier de hauteur 1, mais celui-ci est nécessairement principal puisque k[[X]] est factoriel. Nous sommes reconnaissant envers le referee pour cette observation.

Par cette terminologie nous entendons la donnée d'une valuation v associée à un anneau de valuation discrète, R _v , entre R/P et son corps des fractions K(R/P), R/P ⊂ R _v  ⊂ K(R/P), où P est un premier minimal de R.

On a besoin de déterminer les composantes irréductibles de où désigne la clôture intégrale de R dans son anneau total des fractions.

Communicated by I. Swanson.