Générateurs et Certaines Relations D'une Algèbre Pré-Lie sur les Arbres Enracinés

Abstract

Soit K un corps de caractéristique zéro. Une algèbre pré-Lie à gauche est un K-espace vectoriel muni d'un produit ○ tel que X ○ (Y ○ Z) − (X ○ Y) ○ Z = Y ○ (X ○ Z) − (Y ○ X) ○ Z. Dans cet article, on construit un produit noté ▹ sur l'espace vectoriel 𝒯′ engendré par les arbres enracinés qui contiennent au moins une arête: On montre tout d'abord que (𝒯′, ▹) est une algèbre pré-Lie à gauche engendrée par deux générateurs. Puis on montre que cette algèbre n'est pas libre en donnant deux familles non triviales de relations.

In this paper, K is a field of characteristic zero. A left pre-Lie algebra is a K-vector space with product ○ such that X ○ (Y ○ Z) − (X ○ Y) ○ Z = Y ○ (X ○ Z) − (Y ○ X) ○ Z. In this paper, we construct a product denoted by ▹ on the vector space 𝒯′ spanned by the rooted trees :we show first that (𝒯′, ▹) is a pre-Lie algebra spanned by two generators. Finally, we show that the pre-lie algebra (𝒯′, ▹) is not free, by giving two families of relations.

Key Words:

• Algèbres pré-Lie
• Algèbre pré-Lie libre
• Arbres enracinés
• Produit de Butcher

Classification MSC (2000):

• 16W30
• 05C05
• 17D25
• 18D50

Notes

Communicated by A. Elduque.