Extensions algébriques maximales de corps gauches

Abstract

We study generalizations to division rings of the notions of algebraic and separable closures of fields, and of algebraically closed and separably closed fields. For example, we show that every division ring has at least one “algebraic closure” but also that there are division rings H with infinitely many “algebraic closures” which are pairwise non-H-isomorphic. We also produce division rings which contain $\mathbb{Q}$, which are “separably closed” but which are not “algebraically closed”.

Résumé Nous étudions des généralisations à la situation des corps non nécessairement commutatifs des notions de clôtures algébriques et séparables de corps commutatifs, et de corps commutatifs algébriquement clos et séparablement clos. Nous montrons, par exemple, que n’importe quel corps admet au moins une “clôture algébrique” mais aussi qu’il existe des corps H admettant une infinité de “clôtures algébriques” deux à deux non H-isomorphes. Nous construisons également des corps contenant $\mathbb{Q}$, “séparablement clos” mais non “algébriquement clos”.

Keywords:

• Algebraic extensions
• division rings
• Galois extensions
• quaternion algebras

2020 Mathematics Subject Classification:

• 11R52
• 12E15
• 16K20
• 16K40

Notes

1 En particulier, l’extension $\mathbb{H}/\mathbb{C}$ n’est pas extérieure. En fait, par le théorème de Skolem–Noether, tout automorphisme de $\mathbb{H}$ fixant $\mathbb{R}$ point par point est intérieur.

2 Cette dernière équivalence explique aussi pourquoi nous disons “fermeture algébrique” plutôt que “clôture algébrique” dans le cas des corps quelconques.

3 Dans notre contexte, la notion de séparabilité n’a pas de sens inné, ce qui explique pourquoi nous disons “corps galoisiennement fermé” et “fermeture galoisienne” plutôt que “corps séparablement fermé” et “fermeture séparable”.

4 Voir, par exemple, [13, Chapter XI, §2] pour de nombreux exemples de tels corps commutatifs k.