Case studies of mathematics majors’ proof understanding, production, and appreciation

Abstract

Proof understanding, production, and appreciation (PUPA) are important parts of a mathematician's repertoire. Many university students in the US, however, have difficulty with proof. One intent of this study was to examine the development of such students’ PUPAs and possibly to identify significant influences on that development, through interviews with the students throughout their studies in mathematics. Three case studies show a great variance in the development of the students’ proof skills. Some students come to university with excellent PUPAs and continue to thrive in a proof environment. Others enter university with poor PUPAs and unfortunately graduate without a significant change in their proof skills and attitudes. Still others come with poor proof skills but do show some growth during their undergraduate mathematics programs. Results of teaching experiments suggest that making proofs tangible is a means of helping those with poor PUPAs to grow in their proof understandings and abilities.

Sommaire exécutif

Trois études de cas sur des étudiants qui se spécialisent en mathématiques dans une université américaine font ressortir des différences saisissantes pour ce qui est d'un aspect important des mathématiques : les compétences concernant la compréhension, la production et l'évaluation des preuves (PUPA). À partir d'entrevues réalisées avec 36 étudiants au cours de la seconde moitié de leur formation en mathématiques à l'université, ces études de cas illustrent les différences frappantes qui existent quant aux preuves chez les étudiants qui terminent leur formation universitaire en mathématiques. ≪ Ann ≫, par exemple, n'a presque pas évolué dans la compréhension, la production et l'évaluation des preuves et reconnaît sa faiblesse dans ce domaine, mais doute de pouvoir être en mesure de produire une preuve mathématique acceptable même au terme de sa formation. ≪ Ben ≫, quant à lui, possédait déjà des connaissances enviables en matière de preuves au moment où il est entré à l'université, c'est pourquoi on peut présumer que ces connaissances seront renforcées au moment où il terminera son programme. ≪ Carla ≫ est peut‐être plus typique, car au début elle recourait surtout à des méthodes de justification simples, mais ses connaissances dans ce domaine ont évolué au cours de sa formation, et elle termine son programme avec une connaissance qui, si elle n'est pas parfaite, est sans doute acceptable. Les implications possibles qu'on peut dériver des entrevues sont, entre autres, les suivantes :

• Les étudiants ne doivent pas croire que la production de preuves soit chose facile ; ils doivent au contraire apprendre qu'une preuve est souvent le résultat d'un travail intellectuel considérable.

• Une programmation délibérée visant la compréhension, la production et l'évaluation des preuves dans le curriculum de premier cycle sera nécessaire si on veut promouvoir cet aspect chez la majorité des étudiants.

• Les institutions ont le devoir d'aider les étudiants dont la compréhension, la production et l'évaluation des preuves sont faibles au moment où ils entrent à l'université.

Certaines expériences d'enseignement réalisées dans une autre université laissent supposer qu'il existe au moins quelques principes susceptibles de guider les enseignants en vue d'améliorer la compréhension, la production et l'évaluation des preuves chez leurs étudiants. L'un de ces principes, celui qui consiste à ≪ rendre les preuves tangibles ≫, dérive du ≪ principe de nécessité ≫ proposé par Harel en enseignement des mathématiques : pour que les étudiants puissent apprendre, il faut qu'ils soient en mesure de voir la nécessité intellectuelle de ce qu'on prétend leur enseigner (1998, 2001). ≪ Rendre les preuves tangibles ≫ signifie donc

que les preuves présentées doivent, au yeux des étudiants, inclure des objets mathématiques familiers (aspect concret), être explicites quant à l'idée qui les sous‐tend (aspect convainquant) et entraîner clairement la nécessité d'une justification des différentes étapes de la preuve (aspect essentiel).

Les questions qui regardent l'environnement et la durabilité sont des exemples de nouveaux discours dont les caractéristiques épistémologiques générales indiquent qu'on s'éloigne des limites disciplinaires et de la segmentation des connaissances pour s'orienter vers la perméabilité des limites, les relations entre les choses et une meilleure compréhension de la dynamique qui régit l'interaction entre l'humanité et les écosystèmes. La thèse de l'article est que l'enseignement des technologies doit aider les jeunes d'une part à accepter la complexité, l'ambiguïté et l'incertitude liées à la notion de durabilité, et d'autre part à ne pas fermer prématurément leur esprit devant de nouvelles possibilités. Il est essentiel de les encourager à garder espoir et à faire preuve d'un certain optimisme si on veut qu'ils remettent en question les opinions ‐ reçues et qu'ils aient le courage d'explorer des points de vue divergents sur le monde. En insistant sur la nécessité d'une collaboration interdisciplinaire dans les curriculums technologiques, l'article prône l'intégration des idées provenant d'une nouvelle science émergeante, celle de la durabilité, aussi bien en enseignement des technologies que dans les programmes d'études commerciales.