A procedural route toward understanding aspects of proof: Case studies from real analysis

Abstract

In this paper, I describe how some students can successfully develop their understanding of proof techniques by viewing the act of proving as a procedure. This learning route is discussed within the context of a study in which 1 investigated the learning of six undergraduates in a first course in real analysis. These undergraduates first understood proof as an algorithm—or a step‐by‐step mechanical prescription for proving certain types of statements. They then condensed this algorithm into a process—or a shorter list of global, qualitative steps. By reflecting on the process, the successful students in this study viewed proving as forming an argument, or as an act that establishes the veracity of a mathematical statement. I illustrate this learning route by presenting a detailed analysis of two of the students from this study. Finally, I note that many of the students in this study who viewed proof as a process failed to view proof as an argument by the end of the course and I discuss the consequences of these students’ narrow view of proof.

Sommaire exécutif:

Un des objectifs importants des cours de mathématiques de niveau supérieur est de développer chez les étudiants la notion de preuve mathématique. En particulier, les enseignants souhaiteraient que, à l'issue de ces cours, les étudiants soient en mesure d'élaborer et de comprendre des preuves complexes. Malheureusement, la recherche indique que souvent ces objectifs ne sont pas atteints. Bien que de nombreuses études aient analysé les raisons qui expliquent pourquoi les étudiants sont incapables de construire des preuves mathématiques, très peu d'études se sont penchées sur les façons dont les étudiants peuvent arriver à une meilleure, compréhension des preuves et acquérir les habiletés nécessaires pour les élaborer. Le but du présent article est de combler cette lacune.

Cet article se fonde sur une étude dans le cadre de laquelle six étudiants inscrits à un cours d'introduction à l'analyse réelle avaient des rencontres individuelles avec l'auteur toutes les deux semaines. Au cours de ces rencontres, on demandait aux étudiants d'élaborer des preuves portant sur les concepts étudiés pendant le cours. Au cours de l'étude, certains étudiants ont étés en mesure de comprendre les techniques de preuve en passant par une séquence d'étapes. Dans ce parcours d'apprentissage, les étudiants conçoivent d'abord la technique de preuve comme une procédure, c'est‐à‐dire comme une série prédéterminée d'étapes mécaniques qu'il est nécessaire de suivre pour satisfaire aux exigences d'un devoir ou d'un examen. Par la suite, cette procédure est généralisée en processus, soit une série qualitative d'étapes souples visant à atteindre certains objectifs donnés. [Agrave] ce stade, les étudiants sont en mesure de prouver une vaste gamme de propositions, mais pas de comprendre les preuves qu'ils produisent. Enfin, les étudiants sont en mesure de concevoir la technique de preuve comme la production d'un argument pertinent capable d'expliquer pourquoi la proposition est vraie.

On peut illustrer ce parcours d'apprentissage au moyen de l'analyse détaillée du chemin parcouru par deux étudiants. Le premier est passé par toutes les étapes énumérées plus haut pour arriver à comprendre les preuves en procédant par raisonnement inductif. Quant au second étudiant, il s'est servi de ce parcours pour comprendre comment il pouvait prouver qu'une séquence donnée convergeait vers une certaine limite. Après avoir présenté ces deux études de cas, nous décrivons le comportement général des six participants à l'étude. Cette description montre que tous les participants se sont servis d'un parcours de type procédural pour arriver á comprendre au moins une partie des techniques de preuve utilisées dans leur cours d'analyse réelle. De plus, à la fin de leur cours, plusieurs étudiants arrivaient à concevoir la technique de preuve comme un processus, mais pas encore comme un argument. Donc, ces étudiants pouvaient prouver des propositions sans pour autant comprendre les raisons qui rendaient la preuve valide.

Les études de cas présentées dans ces article montrent comment certains étudiants qui réussissent sont capables de développer leur niveau de compréhension des preuves d'abord en concevant la preuve comme une procédure à suivre, et ne parvenant que plus tard à l'élaboration d'un argument mathématique convaincant. Cependant, les aspects plus généraux de l'article indiquent que, bien que ce parcours fonctionne pour certains étudiants, à la fin du cours d'autres étudiants continuaient à concevoir les techniques de preuve comme des processus seulement. Et ce qui est peut‐être l'élément le plus surprenant des résultats de cette étude, c'est le fait que certains étudiants puissent obtenir de très bonnes notes aux examens sans toutefois bien comprendre les preuves qu'ils produisent.