Two beginnings of geometry and folding: Hermann Wiener and Sundara Row

Abstract

In this paper we examine two mathematicians who published manuscripts on geometry and origami in the same year, 1893: Hermann Wiener and Sundara Row. The main question that concerns us is to situate these works in the correct historical and mathematical background. We suggest that Wiener and Row offer us, via folding a piece of paper, a new conception of geometry that is very different to the common conception at the time.

Acknowledgements

The author would like to thank Nicola Oswald and Wolfgang Schäffner for stimulating talks and especially to Matthias Wiebel, for helping decipher Wiener's text on folding.

Notes

¹ The name Row is sometimes also spelled Rau.

² Wie man in einem Blatt Papier durch Zusammenfalten eine Gerade herstellen kann, und durch Aufeinanderlegen der zwei Hälften dieser Geraden eine dazu senkrechte Gerade erhält, so lassen sich ohne Hilfe von Zirkel und Lineal, allein durch Zusammenfalten aus einem Papierstreifen ... das Quadrat und das regelmäßige Dreieck und Fünfeck herstellen; und aus ihnen können durch richtiges Aneinanderfügen dieser Vielecke und durch Zusammenkleben die 5 Platonischen Körper gewonnen werden (Wiener 1893a, 52). Italics in original.

³ Es bedarf nur einer kurzen Übung, um die zuerst vorläufig gewählten Knicklinien mit geringer Verschiebung in die verlangte Lage zu bringen (Wiener 1893a, 53).

⁴ Man mache in den Papierstreifen einen Knoten, zieht ihn Langsam zu und drücke die übereinanderliegenden Teile des Streifens in die Ebene, indem man darauf achtet, dass die beiden Enden des Streifens an der Stelle, wo sie austreten, ohne Spielraum anliegen (Wiener 1893a, 53).

⁵ Indeed, when Coxeter (1961, 162) mentions this pentagonal knot, he does not provide any historical reference, although Coxeter's book is full of historical references.

⁶ Die 6 Modelle sind vom Herausgeber zuerst für das mathematische Institut der Universität Halle angefertigt worden und waren auf den Ausstellungen mathematischer Modelle in München und Chicago im Jahre 1892 ausgestellt.

⁷ Die geschlossenen Systeme von Spiegelaxen zur Erzeugung der Bewegungsgruppen der regelmäßigen Körper (Wiener 1893b, 54).

⁸ Diese Linien bieten ein gruppentheoretisches Interesse dar: in beiden Fallen liegt ein System von Geraden vor, von denen jede an jeder anderen gespiegelt wieder eine Gerade des Systems ergibt; man kann ein solches System als ein geschlossenes System von Spiegelaxen und die Spiegelungen an ihnen als ein geschlossenes System von Spiegelungen bezeichnen (Wiener 1893b, 55).

⁹ It should also be noted that Schönbeck posits Wiener (and Hilbert) as putting a great emphasis on finding a purely axiomatic base for geometry, in contrast to the analysis that we present in this paper. Moreover, while Hilbert concentrated on the axiomatization of geometry, Wiener also examined its group-theoretic perspective.

¹⁰ die halbe Umdrehung um eine Axe (Wiener 1890a, 14).

¹¹ durch Spiegelung an der Geraden (Wiener 1890a, 16).

¹² Der Begriff ‘Spiegelung an einer Geraden’ gestattet nicht nur eine leichtere Ausdrucksweise, sondern ist, wie ich meine, auch anschaulicher als der der Umwendung. Doch glaubte ich auf diese Vortheile verzichten zu müssen, um selbst den Schein eines der Mechanik fremden Begriffs zu vermeiden. (Wiener 1890a, 16, footnote 1)

¹³ Die beiden Auffassungen der Konstruktion sind wesentlich verschieden, da die Geraden des Raumes dort als Objekte der Bewegung, hier als Träger derselben (der Umwendungen) erscheinen. (Wiener 1890b, 83, footnote 1). Italics in original.

¹⁴ Um diese wichtigen Verhältnisse in die Anschauung aufzunehmen, verfertige man sich ein Modell, bestehend aus einem Parallelogramm A B A B, das man aus starkem Papier ausschneidet und längs der Diagonale AA umbiegt (Wiener 1890b, 74, footnote 1). My Italics.

¹⁵ Es sei darauf hingewiesen, dass die geschlossenen Spiegelsysteme wichtige Dienste zur Aufstellung der, regelmäßigen Punktesysteme’ bieten, das sind unendliche Punktgruppen, wie sie zum Beispiel in der geometrischen Theorie der Kristallstruktur gefordert werden (ibid, 55).

¹⁶ Und doch ist auch diese Erweiterung nicht ohne Anwendung auf Verhältnisse, die in der Natur vorkommen; die neueren Untersuchungen über die Kristallstruktur zeigen die Notwendigkeit, auch symmetrische Systeme mit in Betracht zu ziehen (Wiener 1890a, 16, italics in original).

¹⁷ Friedrich Fröbel is quite widely known as Froebel in English-speaking countries.

¹⁸ I thank Nicola Oswald for pointing this out to me (personal communication, 2015).