The main sources for the Arte Mayor in sixteenth century Spain

Abstract

One of the main changes in European Renaissance mathematics was the progressive development of algebra from practical arithmetic, in which equations and operations began to be written with abbreviations and symbols, rather than in the rhetorical way found in earlier arithmetical texts. In Spain, the introduction of algebraic procedures was mainly achieved through certain commercial or arithmetical texts, in which a section was devoted to algebra or the ‘Arte Mayor’. This paper deals with the contents of the first arithmetical texts containing sections on algebra. These allow us to determine how algebraic ideas were introduced into Spain and what their main sources were. The first printed arithmetical Spanish text containing algebra was the Libro primero de Arithmetica Algebratica (1552) by Marco Aurel. Therefore, the aim of this paper is to analyse the possible sources of this book and show the major influence of the German text Coss (1525) by Christoff Rudolff, on Aurel's work.

Acknowledgements

We are grateful to Jens Høyrup, Karin Reich and Antoni Roca-Rosell who read an earlier version of this article and made some remarks concerning content and language. This research is included in the project HAR2013-44643-R and in the project HAR2016- 75871-R of the Spanish Ministerio de Economía y Competitividad.

Disclosure statement

No potential conflict of interest was reported by the authors.

Notes

¹ Agora te quiero mostrar 8 reglas para las 8 igualaciones en las quales estan fundadas las respuestas de nuestra regla, de la cosa, o arte mayor. Dado que algunos ponen 6, como Fray Lucas del Burgo, y otros 10, como Albertucio de Saxonia. A mi empero me ha parecido tomar el medio arithmetico entre 10, y 6, que es 8, pues por ellas entenderas las 6 de fray Lucas y por las mesmas alcançaras las 10 de Albertucio.

² Behend vnnd Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeincklich die Coss genennt werden.

³ Libro primero de Arithmetica Algebratica, en el qual se contiene el arte Mercantívol, con otras muchas Reglas del arte menor, y la Regla del Algebra, vulgarmente llamada Arte Mayor o Regla de la cosa: sin la qual no se podra entender el décimo de Euclides, ni otros muchos primores, asi en Arithmetica como en Geometria: compuesto, ordenado, y hecho Imprimir por Marco Aurel, natural Aleman, titulado Despertador de ingenios.

⁴ Das büch wirt geteilt in zwen teil: Der erst bechleüst acht algortihmos mitt etlichen andern vorleüfflen so zu erlernung der Coss nottürfftig sein. Der Ander zeigt an die reglen der Coss je eine in sunderheit erklert mit vil und mancherley schoenen exempln.

⁵ Schließlich schreibt schon Plato, dass ohne Arithmetik, Musik und Geometrie, welche in der zahl gegründ, niemand weise genan sein. Demnach sich die Alten hochlich beflissen die zahl zu ergründen haben schriebè ein subtile kunst so in Arabischer zungen: Gebra et almuchabola von den Indianern Alboreth von welschen de la cose genan wurde, nämlich ein kunst von dinge oder zahlen in der gemein ... Von solcher kunst hab ich zusame gelesen diß buch mit vil schoenen exempln allen liebhabern der Arithmetic verfertigt.

⁶ La regla vulgarmente llamada de la cosa, o arte mayor, que por su propio nombre (como dice Guillelmo de Lunis, que es el que primero traslado la dicha regla de Arabigo en lengua Italiana) se llama Algebra & Almucabala, que es restauratio, & oppositio (como en los avisos de las igualaciones veras) ....

⁷ Item die vierd zal ein cubic darnach alweg nach zweien dar zwischen widerumb ein cubic (wie dan Euclidin der 8 und 9 pro: des neünden büchs anzeigt) haben nach ernsilichem useis erfunden die coss das ist die rechnung von einem ding un die zalen nach natürlicher ordnung genent wie hernachvolgt. Dragma radix zensus cubus zensdezens, sursolidum, zensicubus bissursolidum zenszensdezens cubus de cubo.

⁸ ... es fundada sobre una proporción contínua, en la qual ocurren muchos numeros de diversos generos, como quadrados, cubicos, &cc. Como en el 9^o de Euclides podras ver.

⁹ Y quando tu querras multiplicar una dignidad, grado, o caracter con otro, mira lo que esta encima de cada uno, y junta lo simplemente, y aquello que verna, mira encima de qual caracter estara: tal diras que procede de tal multiplicacion.

Zu wissen den name eins products, addier die zalen so gefunde werde über den zweien quantitetn welhdu miteinander multiplicirst, das collect würt dir anzeigen den nam des products.

¹⁰ When Aurel writes the division as a fraction, he does not put a symbol with the independent term, but puts it when he states the two expressions to be divided. It is therefore likely that Aurel forgot to put it in the final expression.

¹¹ Radix ist die seiten oder wurzel eins quadrats.

¹² El x, es rayz, o lado de un cuadrado equilatero. Y es el primero de los numeros de una continua proporcion: porque d es como uno, el qual no es numero.

¹³ Nota. El caracter no lo has de tomar, ni entender por numero o quantidad simple, sino por dignidad, grado, o casa de una continua proporcion. Como el z, es la segunda quantidad de una continua proporcion, y el R es la quinta.

¹⁴ Wan zwo quantitetn natürlicher ordnung einan der gleich werden/dividir die steiner in die grösser quantitet der quocient zeigt an den werdt 1x us in disen exempln.

¹⁵ Quando se ygualaren dos quantidades, caracteres o diferencias de nombres, y no faltare alguna entremedias de las dos: digo que la una siga a la otra, en regla de contínua proporcion: como d a x; xa z, za &c. Partiras la menor por la mayor, el quociente de tal particion te dira quanto vale la x.

¹⁶ Nota. Así como en la primera igualación has visto que no falta ningun caracter entre medios, el quociente dize la valor de una x, en la segunda igualacion falta un caracter entre medio de los dos; el quociente dize la valor de un z, en la tercera faltan 2, verna la valor de un ∞ ... De cada quociente sacaras la rayz conforme a lo que viene, con tal que los que faltaren entre medio de los 2, sean equidistantes.

¹⁷ Werden einander vergleicht dren quantiteten natürlicher ordnung also das die grössern zwo werdè gleich gesprochen der steiner. Us dann dividir die steiner unnd mitter je eine in sunderheit durch die grosser quantitet. Multiplicir des mittern quociets halbenteil in sich quadrate zum quadrat addir den quocient der steinern quantitet radir quadrata dis ser summa minder des mittern quocients zeigt an den Wert 1x.

¹⁸ Quando se ygualaren tres quantidades o differencias de nombres ygualmente distantes, y que no falte ninguna entre medias, desta manera que las dos mayores se ygualen a la menor. Partiras la menor, y mediana de cada una por si por la mayor, y multiplicaras la metad del quociente, dela particion del mediano en si mesmo; y al dicho producto juntaras el quociente de la particion del menor; √ de toda esta summa, menos la del quociente del mediano, sera la valor de una x.

¹⁹ Capit. XVI. Trata de la regla de la quantidad, con algunas reglas, y demandas que por ella se hazen, que por otro nombre se puede llamar, regla de la segunda cosa.

²⁰ Dise Kunst: wie obgemelt: ist gegründt in 8 regln der equation oder vergleichung. Dann in practicirung eins jeden exempls an stat des verborgnen dings so man zu wissen begert mutz anfengklich gesetzt werden 1 x. Mit sölchen gesetzten radix mütz man darnach procediern in aller gestalt sam wer es die rechte zal so lang bitz die sach dahin bracht das zwo ordnung der zalen eine der andern gleich werde. Als dann würt die vergleichung practiciert durch eine autz den untergeschribhen equation so sje eingefallen ist. Durch sölche practiken kompt an tag der wendtunnd bedeütnutz des erstgesetzten radicis.

²¹ Y digo que para hacer una demanda, por la dicha regla (de la cosa), has de imaginar que tal cuenta o demanda ya eshecha, y respondido, y tu agora la quieres provar. Y pornas que la respuesta fuesse una x, con la qual has de proceder con los avisos y reglas dadas, como si fuere la propia quantidad sabida, o respuesta verdadera, hasta tanto que venga a la postre la ultima respuesta, debaxo de caracteres o quantidades ocultas. La qual o las quales diras ser igual a lo que tu querrias que viniese. Y luego practicaras esta tal igualacion, por una de las 8 igualaciones siguientes, a la que sera sujeta, y por ella te sera declarada la valor de la x oculta, y primero propuesta.

²² Y assi digo que para hazer qualquier demanda por esta regla, has de presuponer que la tal demanda es ya hecha y respondida, y que la quieres provar. Poniendo por ejemplo que la respuesta fuesse una cosa, con la qual procederas, haziendo lo que la demanda pidiere, y lo que te viniere con la 1. co. Diras ser ygual a lo que quisieras que viniera.

²³ ‘Digo que para hazer qualquier demanda por esta regla dela Cossa, has de imaginar que la tal demanda es ya hecha y respondida, empero tu la quieres provar; y pornas primeramente que la respuesta fuesse una cosa, con la qual has de proceder haziendo lo que la demanda pidiere, y lo que te viniere con la 1.cosa diras ser ygual a lo que quisieras que viniera.’

²⁴ Est veritatis inquirendae via quaedam in Mathematicis, quam Plato primus invenisse dicitur, à Theone nominate Analysis, & ab eodem definita, Adsumptio quaesiti tanquam concessi per consequential ad verum concessum.

²⁵ 4. Such ein zal welcher 2/3 gleich sovil mache als hett ich zum halbenteil der selben zal 3 addiert. Sek die zal sei 1 x dennach sprich ich das 2/3 x ist gleich x + 3 Q. Thu nach unternicht der erstn cautel Subtrahit x von 2/3 x gleibt 1/6 x gleich 3 Q. Dividirn facit 1x 18 Q. Proba 2/3 auss 18 ist 12. Item von 18 ist 9 darzu addier ich 3 werden auch 12.

²⁶ 1. Mandadme dar un numero cuyos 2/3 sean tanto como si juntara a la mitad del mismo numero 3. Pongo que el numero sea 1 x, cuyos 2/3 es 2/3 x: estos seran iguales a 1/2x +3 Q. Yguala. Quita x de 2/3 x, que daran 1/6 x. Este sera ygual a 3 Q. Parte 3 por 1/6, vernan 18. Tanto diras que es el numero demandado. Pruevolo, el 2/3 de 18, son 12: tanto sera la de 18, y mas 3.

²⁷ One vara is a measurement of length used in different regions of what now constitutes Spain, with different values ranging from 768 to 912 mm. Aurel used ducats where Rudolff had used florins.