Polygonal finite elements for three-dimensional Voronoi-cell-based discretisations

Abstract

Hybrid finite element formulations in combination with Voronoi-cell-based discretisation methods can efficiently be used to model the behaviour of polycrystalline materials. Randomly generated three-dimensional Voronoi polygonal elements with varying numbers of surfaces and corners in general better approximate the geometry of polycrystalline micro- or rather grain-structures than the standard tetrahedral and hexahedral finite elements. In this work, the application of a polygonal finite element formulation to three-dimensional elastomechanical problems is elaborated with special emphasis on the numerical implementation of the method and the construction of the element stiffness matrix. A specific property of Voronoi-based discretisations in combination with a hybrid finite element approach is investigated. The applicability of the framework established is demonstrated by means of representative numerical examples.

L’utilisation d’une formulation hybride en éléments finis combinée à une discrétisation basée sur la méthode de génération de cellules de Voronoi permet d’analyser de manière efficace le comportement des matériaux polycristallins. La génération aléatoire, par la méthode de Voronoi, d’éléments tridimensionnels polygonaux avec un nombre variable de surfaces et de coins permet généralement de mieux approximer la forme des grains que par l’utilisation d’éléments finis standard tétraédriques ou hexaédriques. Dans cette étude, l’application aux problèmes élastiques d’une formulation utilisant des éléments finis polygonaux est développée. Une attention particulière est donnée à l’implémentation numérique et à la construction de la matrice de rigidité d’un élément polygonal. En particulier, la propriété spécifique d’une discrétisation basée sur la méthode de Voronoi combinée à une formulation éléments finis hybrides est étudiée. L’applicabilité et la pertinence de l’approche proposée sont démontrées sur des exemples numériques détaillés dans ce papier.

Keywords:

• polygonal finite elements
• hybrid finite element method
• three-dimensional Voronoi cells
• stress approximation

Mots-clés:

• polygonal finite elements
• hybrid finite element method
• three-dimensional Voronoi cells
• stress approximation