Metaphorical reactions in 1932: from the mathematical ‘crisis of intuition’ to ‘reconstruction in the exact sciences’

Abstract

In 1932, the mathematician Hans Hahn delivered a lecture titled ‘The crisis of intuition’, held within a lecture series called ‘Crisis and Reconstruction in the Exact Sciences’, organized by Karl Menger. In order to account for the various crises, Hahn and his colleagues employed various metaphors. That being said, the dominant metaphor was architectural. Why was this particular metaphor used? And were there other metaphors that were equally important? In this paper, I aim not only to answer these questions, taking into account the image of mathematics and of the mathematician which was conveyed by those metaphors, but also to examine how the various crises were considered via these metaphorical reactions.

Disclosure statement

No potential conflict of interest was reported by the author(s).

Notes

1 The paradox arises when assuming that the following set: ‘the set of all ordinal numbers’ is well defined.

2 Based on this property one constructs the set: $R=\left\{x:x\notin x\right\}$; but this leads to an obvious contradiction: if $R\in R$, then $R\notin R$ (by the definition of $R$), and similarly, if $R\notin R$, then $R\in R$.

3 ‘Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird’ (my emphasis). All translations are my own unless otherwise stated.

4 ‘Krise und Neuaufbau in den exakten Wissenschaften’.

5 It may be that Hahn actually meant that these objects were contradictory to the mathematician’s intuition (or to the intuition of some mathematicians at the end of the nineteenth century); however, he does note at the end of his talk that once these new objects and geometries will ‘penetrate into the curriculum of the schools […] then nobody will think of saying that these geometries are contrary to intuition’ (Hahn 1956, 1976). This may imply that the intuition referred to is also a layman’s intuition, as the topic of geometrical intuition should be already addressed in school.

6 The English translation is taken from (Hahn 1956, 1956).

7 Hahn (1956, 1957).

8 Concerning how the term ‘Anschauung’ functioned in the mathematical discourse at the end of the nineteenth century, see for example (Sattelmacher 2021, 31–72). For the influence of Kant on nineteenth-century thinkers and mathematicians, see (Friedman and Nordmann 2006).

9 Cf. (Menger 1994, 204): ‘After the successful conclusion of the lecture series, it was published in a little book with the same title as the series. Favorable reviews arrived from all around the world […]’. Menger also notes that ‘Within a few days all seats [for the lecture series] were sold, and many late-comers had to be turned away’ (Menger 1979, 17).

10 On those anxious reactions and ‘Irrtum’ at the end of the nineteenth-century mathematics, see (Gray 2004) and especially Gray’s discussion of Oskar Perron’s Antrittsrede from 1911 ‘Über Wahrheit und Irrtum in der Mathematik’ (Perron 1911) at 40–43.

11 Considering mathematical theories as a disease was not only associated to set theory; The usage of group theory in theoretical physics during the 1930s was considered by some as a ‘Gruppenpest’, that is as a ‘plague of groups’. See (Scholz 2006, 480ff).

12 ‘[man kann] solche Abbildung erforderlichen Functionen […] herstellen, wenn man sich der folgenden geometrischen Anschauung bedient’.

13 ‘[…] [l’]exemple [de Weierstrass] ne satisfait pas l'esprit au point de vue géométrique; car la fonction dont il s'agit est définie par une expression analytique qui cache la nature géométrique de la courbe correspondante de sorte qu’on ne voit pas, en se plaçant à ce point de vue, pourquoi la courbe n'a pas de tangente; on dirait plutôt que l'apparence est ici en contradiction avec la réalité du fait, établi par Weierstrass d'une manière purement analytique’. Koch also commented (1906, 146) that Wiener’s attempts to visualize this curve were unsatisfactory.

14 ‘In Wahrheit sind die exakten Wissenschaften vor Krisen keineswegs gesichert und gerade in den letzten Jahrzehnten sind sie von der theoretischen Physik bis hinein in die Logik von schweren Krisen erschüttert worden […]’.

15 ‘Aber ein Neuaufbau hat auf der ganzen Linie bereits erfolgreich begonnen! […] Wir finden […] um an Stelle eingestürzter Paläste einfachere, aber besserfundamentierte Gebäude zu errichten’.

16 ‘Es gibt kein Gebiet der exakten Wissenschaften, in dem die Bestrebungen eines Neuaufbaues nicht von Erfolg begleitet worden wären’.

17 Compare also section 3.2 concerning the reactions to the crises in mathematics in 1918, after World War I.

18 ‘Die Wirtschaftskrise gefährdet in ihren Auswirkungen die ruhige Forschungs- und Arbeitsmöglichkeit unseres akademischen Nachwuchses’.

19 See: ‘Interview of Guido Beck by John Heilbron on 1967 April 22’, Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics, College Park, MD USA, www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4500

20 On the political situation at the universities in Vienna during the 1920s and the 1930s and the predominance of anti-Semitic tendencies, see (Stadler 2015, 285–301); see also (Stadler 2015, 285, footnote 1) for numerous references to secondary literature.

21 ‘The wish expressed by the audience at the end of the lecture cycle […] in the academic year 1932/33 for such lecture cycles to become a permanent Viennese institution was fulfilled in the academic year 1933/34 by holding five lectures […]’ (Menger 1934, 117). [‘Dem Wunsch, dem im Studienjahre 1932/33 am Ende des Vortragszyklus […] das zahlreich versammelte Publikum Ausdruck gab, derartige Vortragszyklen möchten zu einer ständigen Wiener Einrichtung werden, kamen wir im Studienjahre 1933/34 durch Abhaltung von fünf Vorträgen […]’]. The numerous positive reviews on the volume ‘Crisis and Reconstruction in the Exact Sciences’ which was published in 1933 are listed in the two last pages of the 1934 collected volume of ‘Alte Probleme – Neue Lösungen in den exakten Wissenschaften’. It should be mentioned, moreover, that in the 1934 volume the only contribution which explicitly employed architectural metaphors was that of Hahn, ‘Gibt es Unendliches?’; see (Hahn 1934, 106–107).

22 See however Menger’s statement in 1934, concerning the revenues of the lecture series in 1932 and 1934: ‘the income flows undiminished to a fund for the subsidization of scientific work of our young academics and the endowment of scientific publications’ [‘der Ertrag fließt ungeschmälert einem Fonds zur Subventionierung wissenschaftlicher Arbeiten unseres akademischen Nachwuchses und der Dotierung wissenschaftlicher Publikationen zu’] (Menger, 1934, 121–122).

23 The title of this talk ‘Die Erschütterung der klassischen Physik durch das Experiment’ may be considered to refer to such a metaphor (via the word ‘Erschütterung’, meaning shock or even earthquake), but the talk itself does not mention any such related images.

24 ‘Einstein hat, sagen wir, einen Flügel des Lehrgebäudes der klassischen Physik niedergerissen, er hat ihn aber auch säuberlich, Stein für Stein, nur im Stile moderner Sachlichkeit, wieder aufgebaut, er hat auf diesem Gebiet keinen Trümmerhaufen hinterlassen. Der Begriff einer gekrümmten Welt mag ja dem oft mißbrauchten gesunden Menschenverstand gewisse Schwierigkeiten bereiten, dies liegt aber nur an dem Mangel an Anschaulichkeit. Die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie ist trotzdem für alle, die sie wirklich verstehen, ein logisch gut fundiertes Gebäude […]’.

25 ‘[Ich] möchte Sie einen flüchtigen Blick auf die in etwas chaotischem Zustand befindliche Baustelle der Quantentheorie werfen lassen’.

26 Thirring also cited Arthur Stanley Eddington, who noted that around the ‘building of quantum theory’ one should hang a board, warning that this building was closed ‘for remodeling and full renovation’ (Thirring 1933, 29).

27 ‘Reform an Haupt und Gliedern’: an expression describing the reform of the catholic church at the beginning of the fifteenth century.

28 ‘Im Vortrag von Herrn Hahn wurde gezeigt, wie die Mathematik eine Krise der Anschauung durchzumachen hatte […] wodurch ein logisch orientierter Neuaufbau der euklidischen Geometrie notwendig wurde’.

29 ‘Die Logik aber gilt als etwas Unwandelbares und Unerschütterliches, und daß auch in ihrer Domäne von Krise und Neuaufbau die Rede sein kann, das ist […] nicht nur unbekannt, sondern unvorstellbar’.

30 ‘Für die Logik aber bedeutet das Auftreten eines Widerspruches in ihrem Aufbau etwas völlig Katastrophales’.

31 ‘[…] Einsichten und Erkenntnissen über die Grundlagen von Logik und Mathematik […], wenngleich diese Einsichten teilweise in der Zerstörung von Illusionen bestehen’.

32 ‘Die Mathematiker sind wie Menschen, die Häuser bauen – Häuser, die zu bewohnen nicht nur an sich Vergnügen bereitet, sondern auch zu vielem befähigt, was einem Höhlenbewohner nie gelingen kann, – wie Menschen, die bauen, obwohl sie nicht sicher sind, daß nicht eines Tages ein Erdbeben Häuser zerstören wird. Wenn ein Erdbeben Häuser zerstören sollte, so wird man neue bauen, womöglich solche, die erdbebenbeständiger scheinen. Aber mit Rücksicht auf mögliche Erdbeben auf das Bauen von Häusern mit allen ihren Bequemlichkeiten zu verzichten – dazu werden sich die Menschen auf die Dauer nicht entschließen […]. So scheint es mir auch um die klassische Mathematik zu stehen. Sie gewährt nicht nur an sich Genuß, sondern leistet mehr. Gesichert gegen das Erdbeben eines Widerspruches freilich ist sie nicht. Aber man wird deshalb doch nicht aufhören, ihre Gebäude auszubauen und neue zu errichten’.

33 Descartes, in his Discours de la méthode from 1637, contrasted mathematics, with its ‘certainty and the evidence of its reasonings’, to the ‘the writings of the ancient pagans that deal with morals’ which he compared with ‘very proud and very magnificent palaces that were built on nothing but sand and mud’ (Descartes 1998, 4–5). As seen above, the introduction to the 1932 lecture series, calling for ‘better-founded buildings in place of collapsed palaces’, certainly echoes Descartes’ call.

34 Cf. the various papers in (Ferreirós and Gray 2006a).

35 To recall, in Greek, geo means ‘earth’, and metron ‘measurement’.

36 ‘C’est d’elle [de la Géométrie] que les Architectes prennent leurs justes mesures duns la structure des Edifices publics aussi bien que des maisons particuliers. […] Tous ceux qui font profession de dessiner doivent sçavoir quelque chose de la Geometrie puis qu’ils ne peuvent autrement posseder l’Architecture ni la Perspective qui sont deux parties absolument necessaires à leur Art’.

37 For an extensive account of Monge, see (Sakarovitch 1998).

38 It must be recalled that the use of the architectural metaphor was also not new, when one considers German philosophical thought from the late eighteenth century to the early twentieth: Kant, Goethe, Hegel, and Benjamin all employed it, though with different aims (Purdy 2011). Whether or not the lecturers in the 1932 lecture series knew about the history of this metaphor in philosophy is an open question, but one may suggest, at least concerning Hahn, that he was rejecting the intuition argument of Kant while affirming another argument from him concerning the architectural metaphor.

39 Concerning Loos and his friendship with Wittgenstein, see for example (Galison 1990, 725–728).

40 Hahn gave in 1929 in Vienna the lecture ‘Überflüssige Wesenheiten’ in a series of lectures organized by the Verein Ernst Mach (Galison 1990, 722); the first lecture in this series was of the modernist architect Joseph Frank, the ‘brother of Philipp Frank of the Vienna Circle. His presentation was entitled “Modern World Conception and Modern Architecture”’ (721).

41 See also (Galison 1990, 725): ‘Neurath and Carnap regularly referred to the Vienna Circle’s logical positivism as an expression of the neue Sachlichkeit’. On Carnap and the neue Sachlickeit, see (Dahms 2021).

42 See note 3 above.

43 The following discussions on iron and plastic are based on (Friedman and Krauthausen 2021, 24–26).

44 ‘Architekten und lngenieure haben […] ein gemeinsames Ziel: den Sieg über die Materie’.

45 ‘[…] die Verkörperung des abstrakt als notwendig Erkannten’.

46 ‘Jeder Teil einer Eisenkonstruktion übertrifft einen gleichgroßen Holzbalken an Festigkeit zehnfach […]. Und bei der unbeschränkten Bildsamkeit des Eisens wird es möglich, die statisch ‘rationellste’ Form […] künstlich zu schaffen’.

47 For a short review of Meyer’s book, see (Kurrer 2018, 941–945).

48 For the history of iron constructions from the nineteenth century to today, see (Kurrer 2018, Chapter 8: ‘From construction with iron to modern structural steelwork’, 538–639). I thank the anonymous referee for pointing out Kurrer’s work.

49 ‘Denn unser Traum von einem geschmeidigen Material, das unseren Absichten so leicht folgt, wie die Sprache unseren Gedanken, wird in Erfüllung gehen’.

50 ‘Diese Verästelung […] des Begriffssystems durch fortschreitende Abstraktionen hat nun an sich mit der Krise, von der wir hier reden, gar nichts zu tun. Sie ist ein Prozeß der sich in der Physik ganz genau so wie in anderen Wissenschaften vollzieht. In der Mathematik [u.a.] […] erweitert und verfeinert sich das Begriffssystem ungefähr in ähnlicher Weise. Jede einzelne dieser Wissenschaften könnten wir mit einem Bäumchen vergleichen, das immer neue Knospen und Zweige ansetzt und sich so beim Wachsen immer mehr verästelt. Auch das Verdorren einzelner Zweige findet sein Analogon in der Wissenschaft dort, wo irgendwelche, als unnütz erkannte Begriffe und Hypothesen wieder abgestoßen werden und in Vergessenheit geraten. Das organische Wachstum des Begriffssystems einer Wissenschaft ist ein völlig normaler Vorgang, der ständig, auch in nicht krisenhaften Zeiten stattfindet. Die Besonderheit in der Entwicklung der Physik der letzten Jahrzehnte liegt nun aber dann, daß unser Bäumchen plötzlich ganz bizarre Formen annimmt, daß das organische Wachstum nicht mehr auf der bisherigen Linie weitererfolgt, sondern ganz eigenartige Wege einschlägt’.

51 There is however a sociological difference between the two metaphors: if mathematics has an independent existence, as implied with the organic metaphor, the role of the mathematicians is very different from what is implied with the architectural metaphor, where the mathematician is an architect. Cf. (Mehrtens 1990, 223), which notes the differences between Klein’s and Hilbert’s images of mathematics as organism: for Hilbert’s the ‘gardener’ has to cultivate and take care of the ‘trunk’ of the tree of mathematics; for Klein, what is essential to note is the ‘life of the organism’ in general, the organism being mathematics. However, none of the authors in the 1932 lecture series used the ‘gardener’ metaphor.

52 Another example of this intertwining can be seen in Bourbaki’s manifesto ‘The Architecture of Mathematics’ (1950), whose title certainly reflects the architectural metaphor, though Bourbaki referred at the same time to mathematics as an organism (221, 231).

53 This metaphor is originally a religious one, taken from (Matthew 7:15), a verse warning against false prophets. However, it became a common expression. In the King James Version of the New Testament the verse reads: ‘Beware of false prophets, which come to you in sheep’s clothing, but inwardly they are ravening wolves’.

54 ‘[…] der Zaun der Axiomatik bewahrt, um mit Poincaré zu sprechen, die legitimen Schafe der einwandfreien Mengenlehre davor, einen Angriff der paradoxienbehafteten Wölfe auf ihre umfriedete Hürde befürchten zu müssen. Gegen die Dauerhaftigkeit des Zaunes ist kein Bedenken möglich. Wer aber garantiert, daß innerhalb des Zaunes nicht unversehens einige Wölfe zurückgeblieben sind, die, heute von uns noch nicht bemerkt, eines Tages auf die Schafherde losbrechen und aufs neue wie zu Beginn dieses Jahrhunderts das inzwischen umzäunte Reich verwüsten könnten? M. a. W.: wie sichern wir uns davor, daß die Axiome verborgen in sich selbst Keime tragen, die, sobald sie durch Schlüsse hinreichend miteinander in Wechselwirkung gesetzt sind, noch unbekannte Widersprüche erzeugen mögen?’

55 Or in the plague of group theory (see note 11 above), or in the image of naïve set theory as a disease.

56 ‘Er [verlangt] von der Mathematik eine nicht nur graduell, sondern essentiell größere Sicherheit […], als von allen anderen menschlichen Tätigkeiten. Denn wenn ein Hirt einen Zaun um seine Herd errichtet, so ist er ja tatsächlich nicht absolut sicher, ob nicht ein Wolf innerhalb des Zaunes sich irgendwo befindet. Er blickt zwar nach Wölfen aus, aber ein Wolf kann irgendwo versteckt sein und erst später plötzlich auftauchen’.

57 As suggested by Hilbert, see footnote 51.