ON THE ISOMORPHISM PROBLEM FOR RINGS OF DIFFERENTIAL OPERATORS OVER AFFINE CURVES

ABSTRACT

In the group Aut _k (A ₁(k)) of k-automorphisms of A ₁: = A ₁(k) (the first Weyl algebra on a field k of any characteristic p ≥ 0), we solve the following problem: Find σ ∈ Aut _k (A ₁), such that

where 0 ≠ b ∈ k[t] and n = deg(b). This problem is a particular case of the general problem of Stafford (1987) on isomorphisms between two k-algebras ±b𝒟 and ±b𝒟′ both Morita equivalent to A ₁. In this paper, we study affine algebraic curves X(b) introduced by Letzter (1992) and Perkins (1991) and their algebra of differential operators ±b𝒟(X(b)). Due to the resolution of the problem above, we find the condition to have an isomorphism between two such algebras of differential operators. In the case of isomorphism, we define an explicit isomorphism. In particular, we make explicit isomorphisms announced in Letzter (1992) and Perkins (1991). Notice that in case k is an algebraically closed field of characteristic zero, the class of algebras of differential operators ±b𝒟(X(b)) is a very important one, since any k-algebra ±bℬ Morita equivalent to A ₁ is isomorphic to some ±b𝒟(X(b)) in Kouakou (2003).

Dans le groupe Aut _k (A ₁(k)) des k-automorphismes de A ₁ = A ₁(k) (la première algèbre de Weyl sur k, un corps commutatif de caractéristique quelconque bip) nous résolvons le problème: Trouver σ ∈ Aut _k  A ₁ tel que σ (A ₁ +  b) = A ₁ +  t ⁿ où 0 ≠ b ∈ k[t] et n = deg(b). Ce problème est un cas particulier du problème général de Stafford (1987) sur l’existence d’isomorphisme entre deux k-algèbres ±b𝒟 et ±b𝒟′ toutes les deux Morita équivalentes à A ₁. Dans ce papier, nous étudions les courbes affines X(b) introduites par Letzter (1992) et Perkins (1991) et leurs algèbres d’opérateurs diffrentiels associés ±b𝒟(X(b)). Graˆce á la résolution du problème ci-dessus, nous trouvons la condition pour que deux quelconques de ces algèbres soient isomorphes. Dans le cas d’isomorphisme, nous donnons explicitement un isomorphisme. En particulier, nous explicitons les isomorphismes annoncés dans Letzter (1992) et Perkins (1991). Notons que dans le cas où k est un corps algébriquement clos de caractéristique nulle, la classe des algèbres d’opérateurs differentiels ±b𝒟(X(b)) est très importante puisque toute k-algèbre ±bℬ Morita équivalente à A ₁ est isomorphe à un ±b𝒟(X(b)); see Kouakou (2003).

Key Words:

• Affine curves
• Automorphism
• First Weyl algebra
• Morita equivalence
• Ring of differential operators

Mathematics Subject Classifications:

• 16S32

Acknowledgments

Notes

^#Communicated by J. Kuzmanovich.