EFFETS RÉGULARISANTS ET EXISTENCE LOCALE POUR L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER NON-LINÉAIRE À COEFFICIENTS VARIABLES

ABSTRACT

In this article, it is shown that the initial value problem for the nonlinear Schrödinger equation

is locally well posed for a class of “small” data under the geometrical assumption that there is no trapped bicharacteristics associated with Δ _g . Here Δ _g is the Laplacian associated with an asymptotically flat metric, A is a pseudodifferential operator of order 1 and Q is a polynomial having no constant or linear terms. This generalizes a result from Kenig, Ponce and Vega which concerns the case of Euclidian metric. The proof is based on microlocal smoothing effects estimates as made Doï's.

RÉSUMÉ

Dans cet article, on montre que le probleme de Cauchy pour l'équation de Schrödinger non linéaire

est localement bien posé pour une classe de “petites” données sous l'hypothèse géométrique qu'aucune bicaractéristique de Δ _g n'est captive. Δ _g désigne le Laplacien associé à une métrique Riemannienne asymptotiquement plate, A est un opérateur pseudo-différentiel d'ordre un et Q est un polynôme sans termes constants ou linéaires. Ceci généralise un résultat de Kenig, Ponce et Vega qui concerne le cas de la métrique Euclidienne. La preuve repose sur des estimations d'effets régularisants microlocaux dans l'esprit de celles de Doï.

Mots Clés: Equation de Schrödinger non linéaire; Existence locale; Propagation des singularités; Effets régularisants

Code Matière AMS: 35 Q 55; 58 G 17; 35 A 07; 35 B 65; 35 B 45

Acknowledgments