The Number of Real Quadratic Fields Having Units of Negative Norm

REFERENCES

• Beach , B. D. and Williams , H. C. “A numerical investigation of the Diophantine equation x2–dy2 = –1” . Proc. Southeastern Conf. on Combinatorics, Graph Theory and Computing . pp. 37 – 52 . [Beach and Williams 1972]
   Google Scholar
• Borevich , Z. I. and Shafarevich , I. R. 1966 . Number theory New York : Academic Press. . [Borevich and Shafarevich 1966]
   Google Scholar
• Bosma , W. and Stevenhagen , P. “Density computations real quadratic class groups” [Bosma and Stevenhagen], in preparation
   Google Scholar
• Cohen , H. and Lenstra , H. W. Jr. 1984 . “Heuristics on class groups”. ” . In Number Theory: Noordwijkerhout 1983 Edited by: Jager , H. Vol. 1086 , 33 – 62 . Berlin : Springer-Verlag. . [Cohen and Lenstra 1984], Lecture Notes in Math
   Google Scholar
• Cremona , J. E. and Odoni , R. W. K. 1989 . “Some density results for negative Pell equations; an application of graph theory” . J. London Math. Soc. , 39 ( 2 ) : 16 – 28 . [Cremona and Odoni 1989]
   Google Scholar
• Dirichlet , P. G. L. 1834 . “Einige neue Sätze iiber ünbestimmte Gleichungen” . Abh. K. Preuss. Akad. d. Wiss. , : 649 – 664 . [Dirichlet 1834], Also pp. 219–236 in G. Lejeune-Dirichlet's Werke, Band I, Reimer, Berlin, 1889, reprinted by Chelsea, Bronx (NY), 1969
   Google Scholar
• Gerth , F. III . 1984 . “The 4-class ranks of quadratic fields” . Inv. Math. , 77 : 489 – 515 . [Gerth 1984]
   Web of Science ®Google Scholar
• Hardy , G. H. and Wright , E. M. 1979 . An Introduction to the Theory of Numbers, , 5th ed. Oxford : Oxford University Press. . [Hardy and Wright 1979]
   Google Scholar
• Hurrelbrink , J. 1990 . “On the norm of the fundamental unit” Baton Rouge : Louisiana State University. . [Hurrelbrink 1990], (preprint)
   Google Scholar
• Lagarias , J. C. 1980 . “On the computational complexity of determining the solvability or unsolv ability of the equation X2 – DY2 = –1” . Trans. Amer. Math. Soc. , 260 : 485 – 508 . [Lagarias 1980]
   Web of Science ®Google Scholar
• MacWilliams , J. 1969 . “Orthogonal matrices over finite fields” . Amer. Math. Monthly , 76 : 152 – 164 . [MacWilliams 1969]
   Web of Science ®Google Scholar
• Morton , P. 1979 . “On Rédei's theory of the Pell equation” . J. reine angew. Math. , 307/308 : 373 – 398 . [Morton 1979]
   Web of Science ®Google Scholar
• Morton , P. 1982 . “Density results for the 2-classgroups and fundamental units of real quadratic fields” . Studia Sci. Math. Hungar. , 17 : 21 – 43 . [Morton 1982]
   Google Scholar
• Nagell , T. 1932 . “Über die Lösbarkeit der Gleichung x2 – Dy2 = –1” . Arkiv för Mat. Astr. Fysik , 23 ( B/6 ) : 1 – 5 . [Nagell 1932]
   Google Scholar
• Perlis , R. V. 1990 . “On the density of fields with N(∊) = –1” Baton Rouge : Louisiana State University. . [R. V. Perlis 1990], (preprint)
   Google Scholar
• Pumplün , D. 1968 . “Über die Klassen-zahl und die Grundeinheit des reell-quadratischen Zahlkörpers” . J. reine angew. Math. , 230 : 167 – 210 . [Pumplün 1968]
   Google Scholar
• Réldei , L. and Reichardt , H. 1934 . “Die Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der Klassengruppe eines beliebigen quadratischen Zahlkörpers” . J. reine angew. Math. , 170 : 69 – 74 . [Rédei and Reichardt 1934]
   Google Scholar
• Rédei , L. 1935 . “Über die Grundeinheit und die durch 8 teilbaren Invarianten der absoluten Klassengruppe im quadratischen Zahlkörper” . J. reine angew. Math. , 171 : 131 – 148 . [Rédei 1935a]
   Google Scholar
• Rédei , L. 1935 . “Über die Pellsche Gleichung t2 – du2 = –1” . J. reine angew. Math. , 173 : 193 – 221 . [Rédei 1935b]
   Google Scholar
• Rédei , L. 1936 . “Über einige Mittelwertfragen im quadratischen Zahlkörper” . J. reine angew. Math. , 174 : 131 – 148 . [Rédei 1936]
   Google Scholar
• Rédei , L. 1939 . “Ein neues zahlentheoretisches Symbol mit Anwendungen auf die Theorie der quadratischen Zahlkörper” . J. reine angew. Math. , 180 : 1 – 43 . [Rédei 1939]
   Google Scholar
• Rédei , L. 1953 . “Bedingtes Artinsches Symbol mit Anwendungen in der Klassenkörpertheorie” . Acta Math. Hungar. , 4 : 1 – 29 . [Rédei 1953a]
   Google Scholar
• Rédei , L. 1953 . “Die 2-Ringklassengruppe des quadratischen Zahlkörpers und die Theorie der Pellschen Gleichung” . Acta Math. Hungar. , 4 : 31 – 87 . [Rédei 1953b]
   Google Scholar
• Rieger , G. J. 1965 . “Über die Anzahl der als Summe von zwei Quadraten darstellbaren und in einer primen Restklasse gelegenen Zahlen unterhalb einer positiven Schranke. II” . J. reine angew. Math. , 217 : 200 – 216 . [Rieger 1965]
   Web of Science ®Google Scholar
• Scholz , A. 1935 . “Über die Lösbarkeit der Gleichung t2 – Du2 = –4” . Math. Z. , 39 : 95 – 111 . [Scholz 1935]
   Google Scholar
• Stark , H. M. 1970 . An Introduction to Number Theory Cambridge , MA : MIT Press. . [Stark 1970]
   Google Scholar
• Stevenhagen , P. 1993 . “On the 2-power divisibility of certain quadratic class numbers” . J. Number Theory , 43 ( 1 ) : 1 – 19 . [Stevenhagen 1993]
   Web of Science ®Google Scholar
• Stevenhagen , P. “Rédei matrices and applications” [Stevenhagen a], Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1991–92 (to appear)
   Google Scholar
• Stevenhagen , P. “A density conjecture for the negative Pell equation” . Proc. Conf. Algebra and Number Theory . Sydney . [Stevenhagen b], (to appear)
   Google Scholar
• Trotter , H. F. 1969 . “On the norm of units in quadratic fields” . Proc. Amer. Math. Soc. , 22 : 198 – 201 . [Trotter 1969]
   Web of Science ®Google Scholar
• von Thielmann , M. 1926 . “Zur Pellschen Gleichung” . Math. Ann. , 95 : 635 – 640 . [Thielmann 1926]
   Google Scholar
• Weil , A. 1984 . Number Theory: An Approach through History Boston : Birkhäuser. . [Weil 1984]
   Google Scholar