Making sense of mathematical graphics: The development of understanding abstract symbolism

SUMMARY

In this paper we develop our theory of ‘Bi-numeracy’ and show the importance of children's own invented symbolism.

Most studies to date have concentrated on the analysis of children's number representations in clinically set-up tasks (Hughes, 1986; Sinclair, 1988; Munn, 1994). These studies have added to our knowledge of and understanding of children's mathematical marks. Our research differs in that we based our study in children's homes, nursery and classroom contexts. Rather than being clinical researchers our role has been that of participant observer, based on ethnographic research and grounded theory.

We have analysed almost 700 examples of mathematical graphics. These cover all aspects of number and mathematics from the wider mathematics curriculum. They range from child-initiated marks within play to adult-directed sessions in which the children also chose what they wanted to put down on paper. All the samples have come from our own classes or those in which we have been invited to teach. Based on this large sample of original children's marks from authentic teaching situations, our findings are therefore evidence based. We have grouped examples to show where some clear patterns emerged and developed categories that will support teachers' assessment of children's developing mathematical understanding.

We will show the range of these mathematical marks from early play exploration to later written calculations. Our central thesis is that there is a huge need to more openly support children's thinking and mathematical thinking in particular.

RÉSUMÉ

Nous développons dans cet article notre théorie de la « bi-numéracie » et démontrons l'importance du symbolisme inventé par les enfants eux-mêmes.

Jusqu'à présent, la plupart des études ont porté sur l'analyse des représentations numériques des enfants au cours de tâches cliniques (Hughes, 1986; Sinclair, 1988; Munn, 1994). Ces études ont permis d'améliorer notre connaissance et notre compréhension des notations mathématiques des enfants. Notre recherche est différente dans la mesure o[ugrave] nous avons réalisé notre étude au domicile des enfants, ainsi que dans des services préscolaires. Délaissant l'approche clinique, nous avons opté pour une observation participante dans le cadre d'une recherche ethnographique et d'une théorie ancrée sur le terrain.

Nous avons analysé presque 700 exemples de graphiques mathématiques, couvrant les différents aspects du nombre et des mathématiques inclus dans le curriculum le plus large. Ces graphiques ont été produits à l'initiative des enfants lors de jeux libres ou lors d'activités dirigées par un adulte au cours desquelles les enfants pouvaient choisir ce qu'ils voulaient noter. Tous les exemples proviennent de nos propres classes ou de celles dans lesquelles nous avons été invitées à enseigner. Nos résultats sont fondés sur des données probantes grâce à cet important échantillon de notations originales d'enfants, provenant de situations authentiques d'enseignement. Nous avons regroupé les examples afin de montrer l'émergence de configurations distinctes et nous avons défini des catégories qui faciliteront l'évaluation par les enseingants du développement de la compréhension mathématique des enfants.

Nous montrerons l'éventail de ces notations mathématiques, depuis l'exploration ludique des très jeunes enfants aux calculs écrits ultérieurs. Notre thèse centrale est qu'il y a un besoin important de soutenir plus ouvertement la pensée des enfants et en particulier la pensée mathématique.

ZUSAMMENFASSUNG

Mit dieser Arbeit möchten wir unsere Theorie der „Bi-Numeracy“ (auf zweifache Art von Kindern gezeigte numerische Fertigkeiten) und die Bedeutung eines Symbolismus vorstellen, der von Kindern selbst entwickelt wurde.

Bis heute haben sich die meisten Untersuchungen schwerpunktmäßig mit der Analyse von Zahlendarstellungen durch Kinder in klinisch durchgeführten Versuchen (Hughes, 1986; Sinclair, 1988; Munn, 1994) befasst. Diese Studien haben dazu beigetragen, unsere Kenntnisse und unser Verständnis hinsichtlich mathematischer Zeichen, wie sie von Kindern angefertigt wurden, zu erweitern. Im Unterschied zu diesen bisherigen Vorgehensweisen fanden unsere Untersuchungen und Beobachtungen bei Kindern zuhause, sowie in Kindergärten und Schulen statt. Unsere Rolle in diesem Zusammenhang war nicht so sehr die eines klinischen Forschers als vielmehr die des teilnehmenden Beobachters, auf der Grundlage ethnographischer Untersuchungen und begründeter Theorien.

Wir analysierten insgesamt fast 700 Beispiele mathematischer Darstellungen. Dazu gehören alle Aspekte von Zahlen und Mathematik aus einem erweiterten mathematischen Lehrplan. Das Spektrum reicht dabei von Zeichen, die die Kinder selbst in Spielsituationen initiiert haben, bis hin zu Arbeiten unter der Anleitung von Erwachsenen, bei denen die Kinder auch selbst bestimmten, was sie zu Papier bringen wollten. Alle aufgezeigten Beispiele stammen entweder aus unseren eigenen Klassen oder aus Klassen, in die wir zum Unterrichten eingeladen wurden. Aufgrund der umfangreichen Beispiele von Originalzeichen und Darstellungen, wie sie von den Kindern in authentischen Lehr- und Lernsituationen erstelt wurden, sind unsere Ergebnisse auf Beweise gestützt. Wir haben Beispiele in Gruppen zusammengefügt, um aufzuzeigen, inwiefern dabei klare Strukturen erkennbar sind, und haben Kategorien entwickelt, die es Lehrer leichter machen sollen, das sich entwickelnde mathematische Verständnis von Kindern zu bewerten.

Wir zeigen die Bandbreite dieser mathematischen Zeichen von frühen Anwendungen in Spielsituationen bis hin zu späteren schriftlichen Rechnungen. Zentrale These unserer Arbeiten ist, dass nach wie vor ein großer Bedarf darin besteht, die Denkweise von Kindern, insbesondere ihre mathematische Denkweise noch offensichtlicher zu unterstützen.

RESUMEN

En este papel desarrollaremos nuestra teoría de Bi-numeración y demostraremos la importancia de los simbolismos invemtados por los niños.

La mayoria de los estudios hasta el presente se han concentrado en el análisis de las representaciones numéricas de los niños en tareas clínicamente preparadas (Hughes, 1986, Sinclair, 1988; Munn, 1994). Estos estudios han aumentado nuestro conocimiento y comprensión de las calificaciones matemáticas de los niños. Nuestra investigación difiere en que basamos nuestro estudio en el contexto de los hogares de los niños, guarderías y aulas. En vez de ser investigadores clínicos neustro rol ha sido participar como observadores y está, basado en investigación etnogrófìca y en la teoría fundada.

Hemos analizado más de 700 ejemplos de gráficos matemáticos. Esto cubre todos los aspectos numéricos y matemáticos del más amplio currículo matemático. Con un rango desde marcas iniciadas por niños en un juego hasta sesiones dirigidas por adultos en las que los niños también decidieron lo que querían poner en el papel. Todas estas muestras provienen de nuestras clases o de aquellas en las que se nos ha invitado a enseñar. Basado en esta amplia muestra de marcas originales de niños en situaciones autenticas de enseñanza, nuestros resultados están, por tanto basados en la evidencia. Hemos agrupado los ejemplos para mostrar donde emergen patrones claros y se desarrollan categorías de apoyo para la evaluación de los profesores del desarrollo de la comprensión matemática de los niños.

Demostraremos el rango de estas marcas matemáticas desde las exploraciones de los primeros juegos hasta los cálculos escritos más adelantes. Nuestra tesis central es que hay una enorme necesidad de apoyar más abiertamente los pensamientos de los niños y en particular sus pensamientos matemáticos.

Keywords :

• Mark-making
• Mathematics
• Bi-numeracy
• Abstract symbolism