Notions ensemblistes et besoins d’apprentissage dans la transition secondaire-supérieur

Abstract

In set theory, functions present specific conceptual and semiotic properties. In this article, relying on constructs from the anthropological theory of didactics, we analyze the evolution of institutional relationships to set theory functional notions in the transition from high school to university in Tunisia, and the way some characteristics of this evolution can explain the observed difficulties met by successful high school students in the solving of problems involving functions in linear algebra at university.

Résumé

En théorie des ensembles, les notions fonctionnelles présentent des propriétés conceptuelles et sémiotiques spécifiques. Dans cet article, en nous appuyant sur des outils conceptuels issus de la théorie anthropologique du didactique, nous analysons l’évolution des rapports institutionnels aux notions ensemblistes fonctionnelles dans la transition secondaire-supérieur en Tunisie et la façon dont certaines caractéristiques de cette évolution peuvent expliquer les difficultés observées par d’anciens bons élèves de lycée lorsqu’ils ont à résoudre, à l’université, des problèmes mobilisant les notions fonctionnelles en algèbre linéaire.

Notes

Voir aussi, par exemple, Praslon (2000) et Bloch (2000) en France, Bosch, Fonseca et Gascon (2004) en Espagne, et Corriveau (2007) au Canada.

Les objets ostensifs réfèrent aux objets ayant une nature sensible, une certaine matérialité. (Par exemple, le nom prononcé « fonction log », l’écriture « ln » sont des objets ostensifs.)

Les objets non ostensifs sont les objets qui, comme les idées, les intuitions ou les concepts, existent institutionnellement sans pourtant pouvoir être vus, dits, entendus, perçus ou montrés par eux-mêmes: ils ne peuvent qu’être évoqués ou invoqués par la manipulation de certains objets ostensifs associés.

Dire qu’un ostensif a une valence instrumentale signifie qu’il permet d’agir, de travailler, de s’intégrer dans des manipulations techniques, technologiques et théoriques.

Dire qu’un ostensif a une valence sémiotique signifie qu’il permet de produire du sens, de voir, d’apprécier de manière sensible, le travail fait, le travail en train de se faire, et d’envisager le travail à faire.

Deuxième année de lycée, option scientifique, 16–17 ans. (Il s’agit du système d’enseignement français.)

Étant donné que leur nécessité se manifeste dans les tâches d’évaluation et que leur absence est institutionnellement évoquée comme facteur d’échec (Castela, 2008).

Désignées respectivement comme première, deuxième, troisième et quatrième années de l’enseignement secondaire. Les élèves de première année secondaire ont 15–16 ans.

Pour chaque manuel, un inspecteur ou un conseiller pédagogique fait partie de l’ensemble des auteurs.

Pour les applications, certains enseignants utilisent des séries personnelles d’exercices qu’ils trouvent mieux adaptés à leurs élèves ou à la préparation des examens (surtout pour les élèves de baccalauréat).

Un bachelier est un élève admis à l’examen de baccalauréat. Cet examen sanctionne le cycle d’enseignement secondaire.

Pour l’entrée aux écoles d’ingénieurs. Il s’agit d’un concours national organisé par le ministère de tutelle.

Les séries d’exercices sont généralement préparées, à tour de rôle, par les enseignants des classes concernées.

Les propriétés analytiques des fonctions numériques ne concernent pas notre problématique, nous les écartons pour cela de notre étude.

Pour une étude détaillée des rapports institutionnels, se reporter à notre thèse (Najar, 2010).

Ministère de l’Éducation (1998), Programmes officiels de l’enseignement secondaire. Annexe XI. Mathématiques.

Dans la TAD, le topos d’un individu X est la part du travail qui est à sa charge dans une institution I, à un moment donné.

Dernière classe de lycée.

Zouari Mongi, Sellami Mohamed, Chtouroi Mohamed (?). Mathématiques. 2^e année secondaire. CNP. Tunis. Tunisie. (Code 222 501).

Pour montrer qu’une fonction numérique d’une variable réelle est bijective, on montre qu’elle est strictement monotone.

En remarquant que la solution de l’équation existe et est unique. Notons à ce propos que même si nous admettons que les étudiants ont agi de manière à garantir une réussite partielle dans la résolution de l’exercice, en cas d’échec à déterminer f ⁻¹, il nous semble que le fait qu’aucun des étudiants n’a adopté la stratégie de résolution de l’équation f(x) = y pour réaliser les deux tâches simultanément est significatif. Il montre, selon nous, la difficulté qu’éprouvent les étudiants à penser à une stratégie de travail non usuelle.

Notons que, dans l’enseignement secondaire tunisien, la notation est exclusivement réservée aux réels positifs x, et qu’en classe terminale, les élèves étudient un théorème relatif à la résolution de l’équation xⁿ =a (pour a réel et n⩾2). Ce théorème est fréquemment utilisé, surtout dans la détermination des racines n^e d’un nombre complexe, ce qui suppose qu’il soit assez familier pour les élèves de terminale. La réponse attendue pour f ⁻¹(x) est la suivante:

Ces tâches interviennent souvent dans des exercices et des problèmes donnés dans les manuels officiels des classes terminales et aussi dans les annales d’exercices corrigés destinés à la préparation de l’examen de baccalauréat.

Pour l’année où nous avons réalisé notre expérimentation (2006–2007).

Vu la difficulté des épreuves données aux étudiants en CPS1 dans les devoirs et examens, une moyenne de 9 est considérée comme très satisfaisante. L’étudiant dont la moyenne est 13,22 est le premier de sa classe et celui dont la moyenne est 7,83 est classé 29^e (sur 31 étudiants). La suite des notes du groupe (7,83-8,79-8,94-9, 18-9,56-9,68-10,08-10,52-10,99-11,03-11,72-13,22) nous permet de considérer qu’il s’agit d’un groupe représentatif des classes CPS1.

L’exercice proposé est conçu pour le besoin du test.

Théorème: Soient (E,*) un groupe et (F,+) un ensemble muni d’une opération interne. S’il existe un isomorphisme de (E,*) sur (F,+), alors (F,+) est un groupe isomorphe au groupe (E,*).

Nous avons tenu à mettre cet étudiant dans un groupe à part, car son insertion dans un groupe aurait pu empêcher ses membres de faire entendre leurs points de vue ou de participer à l’élaboration de la solution.

« […] dans le sens où [l’institution], même si elle en connaît l’existence, ne s’exprime pas à leur propos et n’en assume pas la responsabilité » (Castela, 2008)

Ben Younes Ali, Hikma Smida, Bouida Ridha, Sassi Zbidi. (1999): Mathématiques. 4^ème année de l’enseignement secondaire. Section Math. Tome 2. CNP. Tunis. Tunisie. (Code 222734).

Corollaire: Soit ϕ une isométrie du plan. Soit A, B, C, D, E, F six points du plan et A’, B’, C’, D’, E’, F’ leurs images respectives par ϕ. Soit a, b deux nombres réels. Si alors

Il est démontré (avant ce théorème) que les images de trois points non alignés par une isométrie sont trois points non alignés.