Early algebraic thinking and the US mathematics standards for grades K to 5 / El pensamiento algebraico temprano y los estándares matemáticos en la Educación Primaria (6–12 años) en Estados Unidos

Abstract

We relate studies of algebraic thinking in elementary school (grades K–5, ages five to 10) to current mathematics standards in the United States. Classroom research increasingly paints a promising picture of the potential of young students to learn to think algebraically. This confirms the overall judgment behind recommendations to create a K–12 algebra strand (for ages five to 17) but leaves a host of challenges regarding the implementation of algebraic thinking activities in classrooms and, more generally, to the preparation of teachers.

Resumen

En este artículo relacionamos diversos estudios sobre el pensamiento algebraico en la escuela primaria (K–5, entre cinco y 10 años) con los estándares matemáticos actuales en Estados Unidos. La investigación en el aula dibuja un panorama cada vez más prometedor del potencial de los más jóvenes para aprender a pensar algebraicamente. Esto confirma el consenso general que se encuentra tras la recomendación de crear un itinerario de álgebra para K–12 (equivalente a Educación Primaria y Secundaria, de cinco a 17 años) pero plantea una serie de retos en lo que respecta a la ejecución de las actividades de pensamiento algebraico en el aula y, en general, sobre la formación del profesorado.

Keywords:

• algebraic thinking
• early algebra
• functions
• relations
• standards for mathematics education

Palabras clave:

• álgebra temprana
• estándares para la enseñanza de las matemáticas
• funciones
• pensamiento algebraico
• relaciones

Acknowledgements / Agradecimentos

Our work has been supported by the National Science Foundation grants 9772732, 9909591, 0310171, 0633915 and 0962863, to Tufts University and TERC. We thank the teachers and students we worked with and Bárbara Brizuela and Montserrat Teixidor-i-Bigas for their collaboration across projects. Opinions, conclusions and recommendations do not necessarily reflect NSF’s views. / Nuestro trabajo ha recibido el apoyo de los programas de la National Science Foundation 9772732, 9909591, 0310171, 0633915 and 0962863 a la Tufts University y TERC. Agradecemos a profesores y estudiantes su trabajo y a Bárbara Brizuela y Montserrat Teixidor-i-Bigas su colaboración en todos nuestros proyectos. Las opiniones, conclusiones y recomendaciones expresadas no reflejan necesariamente las de la National Science Foundation.

Disclosure statement

No potential conflict of interest was reported by the authors. / Los autores no han referido ningún potencial conflicto de interés en relación con este artículo.

Notes

1. The interested reader may wish to compare how strip diagrams were employed in Bodanskii (op. cit.) from the Davydov approach with those used by Beckmann (2004) from the Singapore mathematics approach.

2. During discussions in an initial phase of our studies on early algebra, Bárbara Brizuela proposed the expression ‘bringing out the algebraic character of arithmetic’ to characterize our joint work.

3. In science, one regularly searches for patterns in data with ‘noise’. Such cases do not require that the pattern or model perfectly match the data. Indeed, one typically expects a less than perfect ‘fit’. And one may even use a function as a model of data for which the rule ‘each input value has a unique output value’ is violated. Although science provides important contexts for exploring how patterns are related to relations, there is insufficient room to discuss such matters here.

4. Some authors describe the non-recursive variant as ‘functional’, but this suggests that the recursive approach is not functional. The recursive and non-recursive variants are different representations of a similar underlying function, in the modern sense of ‘same set of ordered (input-output) pairs’. We say ‘similar’ rather than ‘same’ because the recursive form may have a different domain and codomain (e.g., the natural numbers) than the non-recursive form (real numbers). If domains and codomains are the same in each case, then the recursive and non-recursive definitions describe the very same function.

1. El lector interesado puede comparar el uso de diagramas de tiras en Bodanski (op. cit.) del enfoque Davydov con los utilizados por Beckmann (2004) del enfoque matemático de Singapur.

2. Durante las discusiones en una fase inicial de nuestros estudios sobre el algebra temprana, Bárbara Brizuela propuso la expresión ‘poner de relieve el carácter algebraico de la aritmética’ para describir nuestro trabajo conjunto.

3. En ciencia, se suelen buscar patrones en los datos con ‘ruido’. Estos casos no requieren que el patrón o modelo cuadre perfectamente con los datos. De hecho, no se espera en ningún caso un ‘ajuste’ perfecto. E incluso se podría utilizar una función como modelo de los datos cuya regla, ‘cada valor de entrada tiene un único valor de salida’ es transgredida. Aunque la ciencia ofrece importantes contextos para explorar los vínculos entre patrones y relaciones, no disponemos del espacio necesario para debatir estos temas en este artículo.

4. Algunos autores describen la variante no-recursiva como ‘funcional’ pero esto sugiere que el enfoque recursivo no es funcional. Las variantes recursivas y no recursivas son distintas representaciones de una función subyacente similar, en el sentido moderno de ‘el mismo conjunto de pares ordenados (entrada-salida)’. Decimos patrones ‘similares’ y no ‘el mismo’ patrón porque la forma recursiva podría tener un dominio y condominio distintos (e.g., los números naturales) de la forma no recursiva (números reales). Si los dominios y condominios son los mismos en los dos casos, entonces las definiciones recursiva y no recursiva describen exactamente la misma función.