Sur le caractère d’invariant Stablement Birationnel d'un Groupe de Tate–Shafarevich

Abstract

Using the Tate–Poitou duality, Sansuc proved that the group III¹(K, G) is stably K-birational invariant of G for a connected linear algebraic group defined over a number field K. In this paper, we consider the case where K is a function field, in one variable over a PAC field (K is a “good” field in sense Colliot–Thélène and Kunyavskii). We show that the group III¹(K, G) is stably K-birational invariant when G is a connected reductive K-group. Since we no longer have the Tate–Poitou duality at our disposition, we use the flasque resolutions of Colliot–Thélène and Sansuc.

En utilisant la dualité de Tate–Poitou, Sansuc a établi le caractère d'invariant stablement K-birationnel du groupe III¹(K, G) pour un groupe algébrique linéaire connexe G défini sur un corps de nombres K. Dans cet article, nous considérons le cas où K est un corps de fonctions en une variable sur un corps PAC (K est un “bon” corps au sens de Colliot–Thélène et Kunyavskii). Nous montrons le caractère d'invariant stablement K-birationnel du groupe III¹(K, G) pour un K-groupe réductif connexe G. Comme nous n'avons plus à notre disposition la dualité de Tate–Poitou, nous devons utiliser les résolutions flasques de Colliot–Thélène et Sansuc.

Key Words:

• Corps PAC
• Corps de fonctions
• Groupe de Tate-Shafarevich
• Invariant stablement birationnel
• Resolution flasque

Mots Clés:

• Corps de fonctions
• Corps PAC
• Groupe de Tate–Shafarevich
• Invariant stablement birationnel
• Resolution flasque

ACKNOWLEDGMENTS

Nous remercions vivement le referee pour ses recommandations trés riches concernant l'extension des résultats du cas G semi-simple au cas G réductif connexe.

Notes

Communicated by S. Kleiman.