Calculus Students' Use and Interpretation of Variables: Algebraic vs. Arithmetic Thinking

Abstract

The ability to use and interpret algebraic variables as generalized numbers and changing quantities is fundamental to the learning of calculus. This study considers the use of variables in these advanced ways as a component of algebraic thinking. College introductory calculus students' (n = 174) written responses to algebra problems requiring the use and interpretation of variables as changing quantities were examined for evidence of algebraic and arithmetic thinking. A framework was developed to describe and categorize examples of algebraic, transitional, and arithmetic thinking reflected in these students' uses of variables. The extent to which students' responses showed evidence of algebraic or arithmetic thinking was quantified and related to their course grades. Only one third of the responses of these entering calculus students were identified as representative of algebraic thinking. This study extends previous research by showing that evidence of algebraic thinking in students' work was positively related to successful performance in calculus.

Résumé

La capacité d'utiliser et d'interpréter les variables algébriques comme des nombres généralisés ou des quantités variables est fondamentale pour l'apprentissage du calcul différentiel et intégral. La présente étude considère une telle utilisation avancée des variables comme une composante de la pensée algébrique. Nous avons analysé les réponses écrites de 174 étudiants dans un cours universitaire d'introduction au calcul différentiel et intégral, à des problèmes d'algèbre qui demandaient d'utiliser et d'interpréter certaines variables comme des quantités variables, afin de cerner les indices d'une pensée algébrique ou arithmétique. Un cadre a été mis au point pour décrire et catégoriser les exemples de pensée algébrique, transitionnelle et arithmétique, tels que reflétés par l'utilisation des variables chez ces étudiants. Nous avons analysé dans quelle mesure les réponses des étudiants pouvaient être considérées comme exemples de pensée algébrique ou arithmétique; cette mesure a ensuite été quantifiée et mise en relation avec les notes obtenues dans les cours. Seulement un tiers des réponses des étudiants de première année en calcul se sont avérées des exemples de pensée algébrique. Cette étude élargit le champ de certaines recherches précédentes, car elle montre que les indices de pensée algébrique dans le travail des étudiants sont effectivement liés à une bonne performance en calcul.

ACKNOWLEDGEMENTS

Portions of this research were presented at the 2007 annual conference of Research in Undergraduate Mathematics Education (RUME) in Phoenix, Arizona. The authors express their appreciation to Professor Annie Selden for her helpful and insightful comments on an earlier draft of this article.