Developing algebraic reasoning in primary school using a hanging mobile as a learning supportive tool / El desarrollo del razonamiento algebraico en educación primaria utilizando una balanza como herramienta de apoyo

Figures & data

Figure 1. The teaching sequence and its content.

Figure 2. Percentages of students performing at a level of reasoning over the three episodes (N_{Episode 2} = 63; N_{Episode 3} = 65; N_{Episode 4} = 61).

Table

Eva: We can do exactly the same, but then on the other side. So these bags	[1]
[points to the bags on the left side] to the other side, and these ones [points to the	[2]
bags on the right side] also all to the other side. So all these bags to that side and	[3]
all these bags to the other side as well. Then it is different, but also the same	[4]
[laughs]!	[5]

Table

Kees: These two [points to the two red bags on the left side] are the same as	[6]
these two [points to the two red bags on the right side]. They are equally heavy …	[7]
Julia: … so then it must be that these two blacks are the same as 1, 2, 3, 4, 5 …	[8]
6 [white bags] [counts the white bags on the right side of the hanging mobile]! So	[9]
then one [black] equals three [whites]	[10]
Kees: Yes!	[11]

Table

T: Can you tell me why this hanging mobile is straight?	[12]
Kees: Because this one [points to one red bag] counts for two whites [a ratio	[13]
they had previously discovered]. And three whites together equal one black. So	[14]
one red and one white together must be one black.	[15]
T: [looks at Julia] Do you agree?	[16]
Julia: Yes!	[17]
T: So, you actually say, if I would replace this one [points to one red bag] with two	[18]
whites …	[19]
Kees: … it’s exactly the same!	[20]
T: Yes? Are you sure?	[21]
Kees: [nods]	[22]
T: Let’s try!	[23]
Kees: [replaces one red bag with two whites and watches the mobile coming back	[24]
into balance, see Figure 3] Look!	[25]

Figure 3. Kees and Julia substitute a red bag for two whites and watch the physical hanging mobile coming into balance (Episode 1).

Figure 4. Three hanging mobiles in front of the classroom (Episode 2).

Table

Florien: If you double the red one,		[26]
then it becomes one yellow [points to the hanging mobile A].		[27]
And if you then double the blues as well, it results in four blues.		[28]
So then you know that four blues equal one yellow.		[29]

Figure 5. Tug-of-war problem (Episode 3).

Table

Milan: I added the lower row to the upper one. Then I was able to take away both	[30]
horses. Then on the right side, six chickens and one sheep remained. So, you	[31]
could take away a sheep at both [sides]. Then there are six [chickens] and two	[32]
sheep left. Dividing makes three [chickens].	[33]

Figure 6. Kees’ solution of a system of two symbolic linear equations, combined with the answer that F = 6 and H = 12 (Episode 4).

Figura 1. La secuencia de enseñanza y su contenido.

Figura 2. Porcentajes de estudiantes en cada nivel de razonamiento en los tres episodios (N_{Episodio 2} = 63; N_{Episodio 3} = 65; N_{Episodio 4} = 61).

Table

Eva: Podemos hacer exactamente lo mismo, pero en el otro lado. Estas	[1]
[indica las bolas de la izquierda] las ponemos en el otro lado y estas [indica	[2]
las de la derecha] también todas al otro lado. O sea, ponemos todas estas bolas allí y	[3]
todas esas bolas también en el otro lado. Así, será diferente, pero seguirá igual	[4]
[risas].	[5]

Table

Kees: Estas dos [señala las dos bolas rojas del lado izquierdo] son	[6]
lo mismo que estas dos [señala las dos bolas rojas del lado derecho]. Pesan lo mismo …	[7]
Julia: … entonces estas dos negras deben ser lo mismo que 1, 2, 3, 4, 5 …	[8]
6 [bolas blancas] [cuenta las bolas blancas del lado derecho de la balanza].	[9]
O sea, una [negra] equivale a tres [blancas]	[10]
Kees: ¡Sí!	[11]

Table

T: ¿Me podríais decir por qué la balanza está equilibrada?	[12]
Kees: Porque esta bola [señala una bola roja] cuenta como dos blancas [una	[13]
relación que habían descubierto antes]. Y tres blancas equivalen a una negra.	[14]
O sea que una roja y una blanca deben ser lo mismo que una negra.	[15]
T: [mira a Julia] ¿Estás de acuerdo?	[16]
Julia: ¡Sí!	[17]
T: O sea, estás diciendo que si sustituyera esta [señala una bola roja] por dos	[18]
blancas …	[19]
Kees: … ¡es exactamente lo mismo!	[20]
T: ¿Sí? ¿Estás seguro?	[21]
Kees: [asiente]	[22]
T: ¡Vamos a probar!	[23]
Kees: [sustituye una bola roja por dos blancas y observa cómo la balanza se	[24]
reequilibra de nuevo, véase la Figura 3] ¡Mira!	[25]

Figura 3. Kees y Julia sustituyen una bola roja por dos blancas y ven que la balanza recobra el equilibrio (Episodio 1).

Figura 4. Tres balanzas colocadas ante la clase (Episodio 2).

Table

Florien: Si duplicas la bola roja,		[26]
se convierte en una amarilla [señala la balanza A].		[27]
Y si duplicas las bolas azules, tendrás cuatro bolas azules.		[28]
Así sabes que cuatro bolas azules son igual que una amarilla.		[29]

Figura 5. El problema del juego de la cuerda (Episodio 3).

Table

Milan: He sumado la línea inferior a la superior. Después he podido quitar los dos	[30]
caballos. Entonces quedaban seis gallinas y una oveja en el lado derecho. Así que	[31]
podía quitar una oveja de cada [lado]. Entonces nos quedan seis [gallinas] y dos	[32]
ovejas. Si dividimos, quedan tres [gallinas].	[33]

Figura 6. Solución de Kees de un sistema de dos ecuaciones lineales simbólicas, en combinación con la respuesta F = 6 y H = 12 (Episodio 4).